সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: sin⁡θ+sin⁡φ=a এবং…’ আনন্দ মোহন কলেজ ২০২৬ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\sin \theta \theta +\sin \varphi =a$

বা, $2\sin \frac{\theta +\varphi }{2}\cos \frac{\theta -\varphi }{2}=a$ ....... (i)

এবং $\cos \theta +\cos \varphi =b$

বা, $2\cos \frac{\theta +\varphi }{2}\cos \frac{\theta -\varphi }{2}=b$ ........ (ii)

(i) ও (ii)নং বর্গ করে যোগ করি,

$4{\cos }^2\frac{\theta -\varphi }{2}\{{\sin }^2\frac{\theta +\varphi }{2}+{\cos }^2\frac{\theta +\varphi }{2}\}=a^2+b^2$

বা, $4{\cos }^2\frac{\theta -\varphi }{2}=a^2+b^2$

বা, ${\cos }^2\frac{\theta -\varphi }{2}=\frac{a^2+b^2}{4}$

বা, ${\sec }^2\frac{\theta -\varphi }{2}=\frac{4}{a^2+b^2}$

বা, $1+{\tan }^2\frac{\theta -\varphi }{2}=\frac{4}{a^2+b^2}$

বা, ${\tan }^2\frac{\theta -\varphi }{2}=\frac{4}{a^2+b^2}-1=\frac{4-a^2-b^2}{a^2+b^2}$

$\therefore \tan \frac{\theta -\varphi }{2}=\pm \sqrt{\frac{4-a^2-b^2}{a^2+b^2}}$. (প্রমাণিত)

চিত্র হতে পাই, $B={60}^{\circ }$

বা, $\cos B=\cos {60}^{\circ }$

বা, $\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{1}{2}$

বা, $a^2+c^2-b^2=ac$

বা, $a^2+b^2+c^2-2b^2=ac$

বা, $(a+b+c{)}^2-2ab-2bc-2ac-2b^2-ac=0$

বা, $(a+b+c{)}^2-3ac-2ab-2bc-2b^2=0$

বা, $(a+b+c{)}^2+ab+b^2+bc=3(ab+ac+b^2+bc)$

বা, $(a+b+c{)}^2+b(a+b+c)=3\{a(b+c)+b(b+c)\}$

বা, $(a+b+c)(a+b+c+b)=3(a+b)(b+c)$

বা, $\frac{a+b+c+b}{(a+b)(b+c)}=\frac{3}{a+b+c}$

বা, $\frac{(a+b)+(b+c)}{(a+b)(b+c)}=\frac{3}{a+b+c}$

বা, $\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+b}=\frac{3}{a+b+c}$

$\therefore \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$ (দেখানো হলো)