সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : sin⁡θ+sin⁡φ=a…’ সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ ২০২৫ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\sin \theta +\sin \phi =a$

$\therefore 2\sin \frac{\theta +\phi }{2}\cos \frac{\theta -\phi }{2}=a$ ...... (i)

আবার, $\cos \theta +\cos \phi =b$

$\therefore 2\cos \frac{\theta +\phi }{2}\cos \frac{\theta -\phi }{2}=b$ ...... (ii)

(i) ও (ii) নং বর্গ করেরে যোগ করি,

$4{\cos }^2\frac{\theta -\phi }{2}\{{\sin }^2\frac{\theta +\phi }{2}+{\cos }^2\frac{\theta +\phi }{2}\}=a^2+b^2$

বা, $4{\cos }^2\frac{\theta -\phi }{2}=a^2+b^2$

বা, ${\cos }^2\frac{\theta -\phi }{2}=\frac{a^2+b^2}{4}$

বা, ${\sec }^2\frac{\theta -\phi }{2}=\frac{4}{a^2+b^2}$

বা, $1+{\tan }^2\frac{\theta -\phi }{2}=\frac{4}{a^2+b^2}$

বা, ${\tan }^2\frac{\theta -\phi }{2}=\frac{4}{a^2+b^2}-1=\frac{4-a^2-b^2}{a^2+b^2}$

$\therefore \tan \frac{\theta -\phi }{2}=\pm \sqrt{\frac{4-a^2-b^2}{a^2+b^2}}$

নির্ণেয় মান $:\tan \frac{1}{2}(\theta -\phi )=\pm \sqrt{\frac{4-a^2-b^2}{a^2+b^2}}$.

[বি: দ্র: P ও Q এর পরিবর্তে যথাক্রমে A ও B হবে]

দৃশ্যকল্প-২ হতে, $\cos P(1+{\cos }^{2}P)=\sqrt{2}\cos Q$

বা, $\cos P+{\cos }^{3}P=\sqrt{2}\cos Q$ ....... (i)

এবং $\sin P(1-{\sin }^{2}P)=\sqrt{2}\sin Q$

বা, $\sin P-{\sin }^{3}P=\sqrt{2}\sin Q$. ....... (ii)

(i) নং ও (ii) নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে বর্গ করে যোগ করি, 

${(\cos P+{\cos }^{3}P)}^2+{(\sin P-{\sin }^{3}P)}^2=2{\cos }^{2}Q+2{\sin }^{2}Q$

বা, ${\cos }^{2}P+2{\cos }^{4}P+{\cos }^{6}P+{\sin }^{2}P-2{\sin }^{4}P+{\sin }^{6}P=2({\cos }^{2}Q+{\sin }^{2}Q)$

বা, $({\cos }^{2}P+{\sin }^{2}P)+2({\cos }^{4}P-{\sin }^{4}P)+{({\cos }^{2}P)}^3+{({\sin }^{2}P)}^3=2$

বা, $1+2({\cos }^{2}P-{\sin }^{2}P)({\cos }^{2}P+{\sin }^{2}P)+({\cos }^{2}P+{\sin }^{2}P)$$({\cos }^{4}P-{\cos }^{2}P\cdot {\sin }^{2}P+{\sin }^{4}P)=2$

বা, $2({\cos }^{2}P-{\sin }^{2}P)+1\cdot \{{({\cos }^{2}P)}^2+{({\sin }^{2}P)}^2-{\cos }^{2}P\cdot {\sin }^{2}P\}=1$

বা, $2(1-2{\sin }^{2}P)+{({\cos }^{2}P+{\sin }^{2}P)}^2-2{\cos }^{2}P\cdot {\sin }^{2}P-{\cos }^{2}P\cdot {\sin }^{2}P=1$

বা, $2-4{\sin }^{2}P+1-3{\sin }^{2}P\cdot {\cos }^{2}P=1$

বা, $2-4{\sin }^{2}P-3{\sin }^{2}P(1-{\sin }^{2}P)=0$

বা, $2-4{\sin }^{2}P-3{\sin }^{2}P+3{\sin }^{4}P=0$

বা, $3{\sin }^{4}P-7{\sin }^{2}P+2=0$

বা, $3{\sin }^{4}P-6{\sin }^{2}P-{\sin }^{2}P+2=0$

বা, $3{\sin }^{2}P({\sin }^{2}P-2)-1({\sin }^{2}P-2)=0$

বা, $({\sin }^{2}P-2)(3{\sin }^{2}P-1)=0$

হয়,

${\sin }^{2}P-2=0$

${\sin }^{2}P=2$

ইহ গ্রহণয়াগ্য নয়।

অথবা, $3{\sin }^{2}P-1=0$

${\sin }^{2}P=\frac{1}{3}$

$\therefore {\cos }^{2}P=1-{\sin }^{2}P=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

বামপক্ষ $=\sin (P-Q)=\sin P\cdot \cos Q-\cos P\cdot \sin Q$

$=\sin \left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos P+{\cos }^{3}P)\right\}-\cos P\cdot \left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin P-{\sin }^{3}P)\right\}$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin P\cdot \cos P+\sin P\cdot {\cos }^{3}P-\sin P\cdot \cos P+{\sin }^{3}P\cdot \cos P)$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin P\cdot \cos P({\cos }^{2}P+{\sin }^{2}P)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \sin P\cdot \cos P$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot (\pm \frac{1}{\sqrt{3}})\cdot (\pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})[\because {\sin }^{2}P=\frac{1}{3},{\cos }^{2}P=\frac{2}{3}]$

$=\pm \frac{1}{3}=$ ডানপক্ষ

$\therefore \sin (P-Q)=\pm \frac{1}{3}$. (দেখানো হলো)