সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: sin⁡θ+sin⁡ϕ=x,cos⁡θ+cos⁡ϕ=yদৃশ্যকল্প-২: ΔABC-এ,…’ আদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ ২০২৫ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\sin \theta +\sin \varphi =x$

বা, $2\sin \frac{\theta +\varphi }{2}\cos \frac{\theta -\varphi }{2}=x$ . . . . . . . . . . . . . . (i)

এবং $\cos \theta +\cos \varphi =y$

বা, $2\cos \frac{\theta +\varphi }{2}\cos \frac{\theta -\varphi }{2}=y$ . . . . . . . . . . . . . . (ii)

(i) ও (ii) নং বর্গ করে যোগ করি,

$4{\cos }^2\frac{\theta -{\varphi }^{\prime }}{2}\{{\sin }^2\frac{\theta +\varphi }{2}+{\cos }^2\frac{\theta +\varphi }{2}\}=x^2+y^2$

বা, $4{\cos }^2\frac{\theta -\varphi }{2}=x^2+y^2$
বা, ${\cos }^2\frac{\theta -\varphi }{2}=\frac{x^2+y^2}{4}$
বা, ${\sec }^2\frac{\theta -\varphi }{2}=\frac{4}{x^2+y^2}$
বা, $1+{\tan }^2\frac{\theta -\varphi }{2}=\frac{4}{x^2+y^2}$
বা, ${\tan }^2\frac{\theta -\varphi }{2}=\frac{4}{x^2+y^2}-1=\frac{4-x^2-y^2}{x^2+y^2}$

$\therefore \tan \frac{\theta -\varphi }{2}=\pm \sqrt{\frac{4-x^2-y^2}{x^2+y^2}}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $△ABC$-এ, $\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$

বা, $\frac{b+c+a+c}{(a+c)(b+c)}=\frac{3}{a+b+c}$
বা, $(a+b+c)\left\{\right(a+b+c)+c\}=3(a+c)(b+c)$
বা, $(a+b+c{)}^2+(a+b+c)c=3(ab+ac+bc+c^2)$
বা, $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac+ac+bc+c^2-3ab$
$-3ac-3bc-3c^2=0$

বা, $a^2+b^2-c^2-ab=0$
বা, $a^2+b^2-c^2=ab$
বা, $\frac{a^2+b^2-{\dot{c}}^2}{ab}=1$
বা, $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{1}{2}$
বা, $\cos C=\cos {60}^{\circ }$

$\therefore C={60}^{\circ }$.  (প্রমাণিত)