সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: sin⁡x+sin⁡y=a এবং…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০১৭ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\sin x+\sin y=a$

বা, $2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}=a$ ..... (i)

এবং $\cos x+\cos y=b$

বা, $2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}=b$ ...... (ii)

(i) $÷$ (ii) করে পাই, $\tan \frac{x+y}{2}=\frac{a}{b}$

বা, ${\tan }^2\frac{x+y}{2}=\frac{a^2}{b^2}$ বা, ${\sec }^2\frac{x+y}{2}-1=\frac{a^2}{b^2}$

বা, ${\sec }^2\frac{x+y}{2}=1+\frac{a^2}{b^2}$ বা, ${\sec }^2\frac{x+y}{2}=\frac{a^2+b^2}{b^2}$

বা, ${\cos }^2\frac{x+y}{2}=\frac{b^2}{a^2+b^2}$

বা, $2{\cos }^2\frac{x+y}{2}=\frac{2b^2}{a^2+b^2}$

বা, $1+\cos (x+y)=\frac{2b^2}{a^2+b^2}$

বা, $\cos (x+y)=\frac{2b^2}{a^2+b^2}-1=\frac{2b^2-a^2-b^2}{a^2+b^2}$

$\therefore \cos (x+y)=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}$ (Ans.)

এখানে, $△\mathrm{ABC}\Omega ,A+B+C=\pi$

বামপক্ষ $={\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C$

$=(\sin A+\sin B)(\sin A-\sin B)+{\sin }^{2}C$

$=(2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2})\cdot (2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2})+{\sin }^{2}C$

$=(2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A+B}{2})\cdot (2\sin \frac{A-B}{2}\cos \frac{A-B}{2})+{\sin }^{2}C$

$=\sin (A+B)\sin (A-B)+{\sin }^{2}C$

$=\sin (\pi -C)\sin (A-B)+{\sin }^{2}C[\because A+B+C=\pi ]$

$=\sin C\sin (A-B)+{\sin }^{2}C$

$=\sin C\{\sin (A-B)+\sin C\}$

$=\sin C[\sin (A-B)+\sin \{\pi -(A+B)\left\}\right][\because A+B+C=\pi ]$

$=\sin C\{\sin (A-B)+\sin (A+B\left)\right\}$

$=\sin C\cdot 2\sin A\cos B$

$=2\sin A\cos B\sin C=$ ডানপক্ষ

$\therefore {\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=2\sin A\cos B\sin C$ (প্রমাণিত)