সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : সোজাসুজি…’ কুমিল্লা ভিক্টোরিয়া সরকারি কলেজ ২০২৬ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, সাতারুর বেগ $u=30$ মি./ সে. এবং স্রোতের বেগ $v=20$ মি./ সে.
লব্ধি বেগ = w

সোজাসুজি পাড় হওয়ার ক্ষেত্রে, 

$△OAB$ এ পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$u^2=v^2+w^2$

বা, $w^2=u^2-v^2$
বা, $w=\sqrt{u^2-v^2}$
∴ সাতারুর লব্ধি বেগ $w=\sqrt{u^2-v^2}$

নদীর বিস্তার d হলে,

বা$d=w{t}_1\text{ বা, }{t}_1=\frac{d}{w}=\frac{d}{\sqrt{u^2-v^2}}$..................(i)

আবার, স্রোতের অনুকূলে বেগ $=u+v$.
∴ শর্তমতে, $(u+v)t_2=d$
বা, $t_2=\frac{d}{u+v}$..................(ii)

(i) ÷ (ii) হতে,
$\therefore \frac{t_1}{t_2}=\frac{\frac{d}{\sqrt{u^2-v^2}}}{\frac{d}{u+v}}=\frac{u+v}{\sqrt{u^2-v^2}}$
বা, $\frac{t_1}{t_2}=\frac{30+20}{\sqrt{(30{)}^2-(20{)}^2}}[\because u=30$ এবং $v=20]$
বা, $\frac{t_1}{t_2}=\frac{50}{10\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}\therefore \frac{t_1}{t_2}=\sqrt{5}$
নির্ণেয় $t_1:t_2=\sqrt{5}:1$.

স্থান দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব $=4$ কি.মি. এবং সময় $=8$ মিনিট
সমত্বরণের ক্ষেত্রে: দূরত্ব $=s_1$
সময় $=t_1$, সমত্বরণ $=m$
আমরা পাই, $v={\mathrm{mt}}_1$
বা, $\frac{v}{m}=t_1$.......................(1)

এবং $s_1=\frac{1}{2}{\mathrm{mt}}_1{}^2=\frac{1}{2}{\mathrm{mt}}_1{t}_1=\frac{1}{2}{\mathrm{vt}}_1$

$\therefore s_1=\frac{1}{2}v{t}_1.$.......................(2)

সমমন্দনের ক্ষেত্রে:
দূরত্ব $s_2$; সময় $t_2$; সমমন্দন $=n$
আমরা পাই, $0=v-{\mathrm{nt}}_2$
বা, $\frac{v}{n}=t_2$.......................(3)

এবং $s_2={\mathrm{vt}}_2-\frac{1}{2}{\mathrm{nt}}_2{}^2$
বা, $s_2={\mathrm{vt}}_2-\frac{1}{2}{\mathrm{vt}}_2$
বা, $s_2=\frac{1}{2}v{t}_2$.......................(4)
(1) ও (3) যোগ করে পাই,

$\frac{v}{m}+\frac{v}{n}=t_1+t_2$

বা, $v(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})=8$.......................(5)

আবার, (2) ও (4) যোগ করে পাই,

$s_1+s_2=\frac{1}{2}v(t_1+t_2)$

বা, $4=\frac{1}{2}$, v. 8
বা, $v=1$
v এর মান (5) নং বসিয়ে পাই,

$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=8$

বা, $\frac{m+n}{mn}=8$
বা, $m+n=8mn$. (প্রমাণিত)