সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : সমত্বরণে…’ আইডিয়াল স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৬ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

কণাটি A হতে u বেগে $t_1$ সময়ে d দূরত্বে B বিন্দুতে $u_1$ বেগ প্রাপ্ত হয়, কণাটি B হতে $u_1$ বেগে $t_2$ সময়ে 4d দূরত্বে C বিন্দুতে $u_2$ বেগ প্রাপ্ত হয়, এবং কণাটি C হতে $u_2$ বেগে $t_3$ সময়ে 7d দূরত্বে D বিন্দুতে $u_3$ বেগ প্রাপ্ত হয়

AB অংশে :

$d=\frac{u+u_1}{2}\cdot t_1$

বা, $\frac{d}{t_1}=\frac{u+u_1}{2}$. . . . . . . . . . . .(1)

BC অংশে :

$4d=\frac{u_1+u_2}{2}\cdot t_2$

বা, $\frac{4d}{t_2}=\frac{u_1+u_2}{2}$. . . . . . . . . . . .(2)

CD অংশে :

$7d=\frac{u_2+u_3}{2}\cdot t_3$

বা, $\frac{7d}{t_3}=\frac{u_2+u_3}{2}$. . . . . . . . . . . .(3)

AD অংশে :

$12d=\frac{u+u_3}{2}\cdot (t_1+t_2+t_3)$

বা, $\frac{12d}{t_1+t_2+t_3}=\frac{u+u_3}{2}$. . . . . . . . . . . .(4)

সমীকরণ (1) - (2) + (3) হতে পাই,

$\frac{d}{t_1}-\frac{4d}{t_2}+\frac{7d}{t_3}=\frac{u+u_1}{2}-\frac{u_1+u_2}{2}+\frac{u_2+u_3}{2}$

বা, $d(\frac{1}{t_1}-\frac{4}{t_2}+\frac{7}{t_3})=\frac{u+u_3}{2}$
বা, $d(\frac{1}{t_1}-\frac{4}{t_2}+\frac{7}{t_3})=\frac{12d}{t_1+t_2+t_3}$ [সমীকরণ (4) হতে]
$\therefore \frac{1}{t_1}-\frac{4}{t_2}+\frac{7}{t_3}=\frac{12}{t_1+t_2+t_3}$.
(দেখানো হলো)

আমরা জানি, একটি প্রক্ষেপকের নির্দিষ্ট পাল্লা $R$ এর জন্য দুইটি নিক্ষেপণ কোণ থাকে। এদের একটি $\alpha$ হলে অপরটি $({90}^{\circ }-\alpha )$ । ধরি, নিক্ষেপণ বেগ u এবং দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে নিক্ষেপণ কোণ $\alpha$ এর জন্য বিচরণ পথের সর্বাধিক উচ্চতা $h_1=12m$ এবং নিক্ষেপণ কোণ $({90}^{\circ }-\alpha )$ এর জন্য গতিপথের সর্বাধিক উচ্চতা $h_2=16m$. সুতরাং, $h_1=\frac{u^2{\sin }^2\alpha }{2g}$

এবং $h_2=\frac{u^2{\sin }^2({90}^{\circ }-\alpha )}{2g}$
বা, $h_2=\frac{u^2{\cos }^2\alpha }{2g}[\because \sin ({90}^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha ]$
এখন, $h_1{h}_2=\frac{u^2{\sin }^2\alpha }{2g}\times \frac{u^2{\cos }^2\alpha }{2g}$
বা, $h_1{h}_2=\frac{{(2u^2\sin \alpha \cos \alpha )}^2}{16g^2}$
বা, $h_1{h}_2=\frac{{(u^2\sin 2\alpha )}^2}{16g^2}=\frac{1}{16}{\left(\frac{u^2\sin 2\alpha }{g}\right)}^2$
বা, $h_1{h}_2=\frac{1}{16}{R}^2[\because$ আনুভূমিক পাল্পা $R=\frac{u^2\sin 2\alpha }{g}]$
বা, $R^2=16h_1{h}_2$
বা, $R=\sqrt{16h_1{h}_2}=4\sqrt{h_1{h}_2}$
বা, $R=4\sqrt{12\times 16}[\because h_1=12m$ এবং $h_2=16m]$
বা, $R=4\sqrt{192}$
$\therefore R=32\sqrt{3}$ মিটার। (দেখানো হলো)