সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:তিনটি বিন্দু p(−1,3),Q(4,3)…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২১ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,

$p(-1,3)$ এবং $Q(4,3)$

$\therefore$ পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র (-1-3) এবং শীর্ষবিন্দু $Q(4,3)$

$Q,ZP$ এর মধ্যবিন্দু

$\therefore \frac{x-1}{2}=4$ এবং, $\frac{y+3}{2}=3$

$\Rightarrow x=9=>y=3$

$\therefore Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(9,3)$

$ZP$ রেখার সমীকরণ,

$\frac{x-9}{9+1}=\frac{y-3}{3-3}$

$\Rightarrow y-3=0$

(i) নং এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ,

$x+k=0$

ইহা $(9,3)$ বিন্দুগামী হলে,

$9+k=0=>K=-9$

K এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, $x-9=0$

ধরি পরাবৃত্তের উপর যেকোন বিন্দু $T(x,y)$

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,

$TP=MT$

$\Rightarrow T{P}^2=M{T}^2$

$\Rightarrow (x+1{)}^2+(y-3{)}^2=(x-9{)}^2$

$\Rightarrow x^2+2x+1+y^2-6y+9=x^2-18x+81$

$\Rightarrow y^2-6y+20x-71=0$

$\Rightarrow y^2-2.3\cdot y+3^2=-20x+80$

$\Rightarrow (y+3{)}^2=-20(x-4)=4.(-5\left)\right(x-4)$

ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

দেওয়া আছে, সরল রেখার সমীকরণঃ

$x-2y+2=0.........\left(i\right)$

এবং, $R(1,-1),e=\frac{1}{\sqrt{3}}$

তাহলে (i) নং রেখাটি উপবৃত্তের নিয়ামক রেখা ও R বিন্দুটি উপকেন্দ্র।

ধরি উপবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$

$\therefore$ উপবৃত্তের সংজ্ঞা থেকে পাই,

$PR=e\cdot PM\Rightarrow P{R}^2=e^2\cdot P{M}^2$

$\Rightarrow (x-1{)}^2+(y+1{)}^2=\frac{1}{3}\frac{(x-2y+2{)}^2}{5}$

$\Rightarrow 15(x^2-2x+1+y^2+2y+1)=x^2+4y^2+4-4xy-8y+4xy$

$\Rightarrow 14x^2+11y^2+4xy-34x+38y+26=0$

ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।