সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: u এবং…’ ফৌজদারহাট ক্যাডেট কলেজ ২০২৫ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

$u$ ও $v$ বেগদ্বয়ের  লব্ষি = w এবং
$u$ ও $v$ এর অন্তর্গত  কোণ $=\alpha$
$u$ ও $w$ এর অন্তর্গত কোণ = $\theta$
$u$-এর দিক বরাবর $w$ এর লম্বাংশ, $w\cos \theta =v$
$\therefore u\cos 0^{\circ }+v\cos \alpha =\omega \cos \theta$
বা, $u+v\cos \alpha =v[\because w\cos \theta =v]$
বা, $v\cos \alpha =v-u$
বা, $\cos \alpha =\frac{v-u}{v}$
$\therefore \alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{v-u}{v}\right)$ (দেখানো হলো)
আবার , $w^2=u^2+v^2+2uv\cos \alpha$

 $\begin{array}{cc}& =u^2+v^2+2uv\cdot \frac{v-u}{v}\\ & =u^2+v^2+2uv-2u^2=v^2-u^2+2uv\end{array}$ 

$\therefore w={(v^2-u^2+2uv)}^{\frac{1}{2}}$. (দেখানো হলো $)$ 

কণাটি  $A$ হতে $u$ বেগে  $t_1$ সময়ে  $x$ দূরত্বে  B বিন্দুতে  $u_1$ বেগ প্রাপ্ত হয়, 
কণাটি $B$ হতে $u_1$ বেগে $t_2$ সময়ে $4x$ দূরত্বে $C$ বিন্দুতে $u_2$ বেগ প্রাপ্ত হয়, 
এবং কণাটি  $C$ হতে $u_2$ বেপে $t_3$ সময়ে $7x$ দূরত্বে  D বিন্দুতে  $u_3$ বেগ প্রাপ্ত হয়

$AB$ অংশে  : $x=\frac{u+u_1}{2}\cdot t_1$
বা, $\frac{x}{t_1}=\frac{u+u_1}{2}$$......\left(1\right)$
$BC$ অংশে  : $4x=\frac{u_1+u_2}{2}\cdot t_2$
বা, $\frac{4x}{t_2}=\frac{u_1+u_2}{2}$$......\left(2\right)$
$CD$ অংশে  : 7x $=\frac{u_2+u_3}{2}\cdot t_3$
বা, $\frac{7x}{t_3}=\frac{u_2+u_3}{2}$$......\left(3\right)$
$AD$ অংশে : $12x=\frac{u+u_3}{2}\cdot (t_1+t_2+t_3)$
বা, $\frac{12x}{t_1+t_2+t_3}=\frac{u+u_3}{2}$$......\left(4\right)$

$\frac{x}{t_1}-\frac{4x}{t_2}+\frac{7x}{t_3}=\frac{u+u_1}{2}-\frac{u_1+u_2}{2}\frac{u_2+u_2}{2u_3}$

বা, $x(\frac{1}{t_1}-\frac{4}{t_2}+\frac{7}{t_3})=\frac{u+u_3}{2}$
বা, $x(\frac{1}{t_1}-\frac{4}{t_2}+\frac{7}{t_3})=\frac{12x}{t_1+t_2+t_3}$ [সমীকরণ  $\left(4\right)$ হতে]
$\therefore \frac{1}{t_1}-\frac{4}{t_2}+\frac{7}{t_3}=\frac{12}{t_1+t_2+t_3}$. (প্রমাণিত)