সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:উপবৃত্তর উপকেন্দ্র S…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, উপবৃত্তের উপকেন্দ্র $S(1,-1)$

নিয়ামক রেখা $MZ=x-y-4=0$

ধরি, উপবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$ । উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,

$\mathrm{SP}=e.\mathrm{PM}$

বা, $\sqrt{(x-1{)}^2+(y+1{)}^2}=e\cdot \frac{|x-y-4|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}$........ (1)

(1) নং সমীকরণ $D(1,1)$ বিন্দুগামী

$\sqrt{(1-1{)}^2+(1+1{)}^2}=e\cdot \frac{[1-1-4]}{\sqrt{1+1}}$

বা, $\sqrt{0+2^2}=e\cdot \frac{|-4|}{\sqrt{2}}$

বা, $2=e\cdot \frac{4}{\sqrt{2}}$

বা, $e=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\therefore$ (1)নং সমীকরণে e $=\frac{1}{\sqrt{2}}$ বসিয়ে পাই,

$\sqrt{(x-1{)}^2+(y+1{)}^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{|x-y-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

বা, $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=\frac{1}{2}\frac{(x-y-4{)}^2}{2}$ [বর্গ করে]

বা, $x^2-2x+1+y^2+2y+1=\frac{1}{4}(x-y-4{)}^2$

বা, $4x^2-8x+4+4y^2+8y+4=x^2+y^2+16-2xy-8x+8y$

বা, $4x^2+4y^2-8x+8y+8=x^2+y^2-2xy-8x+8y+16$

$\therefore 3x^2+3y^2+2xy-8=0$

নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ, $3x^2+3y^2+2xy-8=0$.

প্রদত্ত কনিকটির সমীকরণ,

$5x^2+4y^2-10x-8y-11=0$

বা, $5(x^2-2x)+4(y^2-2y)-11=0$

বা, $5(x^2-2x+1)+4(y^2-2y+1)-11-5-4=0$

বা, $5(x-1{)}^2+4(y-1{)}^2=20$

বা, $\frac{(x-1{)}^2}{4}+\frac{(y-1{)}^2}{5}=1$ ......... (1)

(1)নং কে উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ,

$\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$X=x-1,Y=y-1$

$a^2=4$ বা, $a=2$

$b^2=5$ বা, $b=\sqrt{5}$

$\therefore b>a$

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\sqrt{1-\frac{4}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

$\therefore$ নিয়ামকের সমীকরণ, $Y=\pm \frac{b}{e}$

অর্থাৎ, $y-1=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}$

বা, $y-1=\pm 5$

(+) চিহ্ন নিয়ে পাই,

$\therefore y-1=5$

বা, $y=5+1=6$

$\therefore y=6$

(-) চিহ্ন নিয়ে পাই,

$\therefore y-1=-5$

বা, $y=-5+1=4$

$\therefore y=4$

নির্ণেয় কনিকটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ; $y=6,y=-4$.