সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: উপকেন্দ্র (3,…’ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৪ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উপকেন্দ্র $(3,4)$

দিকাক্ষের সমীকরণ,$x+y-2=0$

উৎকেন্দ্রিকত, $e=\frac{1}{3}$ অর্থাৎ, উপবৃত্ত।

$sp=e\cdot pM$

বা, $s{p}^2=e^2\cdot p{M}^2$

বা, $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(\frac{x+y-2}{r_2}\right)}^2$

বা, $x^2-6x+y+y^2-8y+16=\frac{1}{y}\cdot \frac{x^2+y^2+4+2xy-4x-4y}{2}$

বা, $18(x^2+y^2-6x-8y+25)=x^2+y^2+2xy-4x-4y+4$

বা, $18x^2+18y^2-108x-144y+450=x^2+y^2+2xy-4x-4y+4$

বা, $17x^2+17y^2-2xy-104x-140y+446=0$

উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{2}>1$ অর্থাৎ, কলিকটি হলো অধিবৃত্ত।

উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 16 একক।

বা, $2ae=16$

বা, $2a\sqrt{2}=16$

বা, $a=4\sqrt{2}$

আবার, $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$

বা, $\sqrt{2}=\sqrt{1+\frac{b^2}{{\left(4r_2\right)}^2}}$

বা, $2=1+\frac{b^2}{32}$

বা, $b^2=32$

$\therefore b=4r_2$

সুতরাং, অধিবৃত্তের সমীকরণ,

$\frac{x^2}{{\left(4r_2\right)}^2}-\frac{y^2}{(4\sqrt{2}{)}^2}=f$

বা, $x^2-y^2={\left(4r_2\right)}^2$

বা, $x^2-y^2=32$