সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: x =…’ ঢাকা বোর্ড ২০২১ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে,

$x={\mathrm{ay}}^2+\mathrm{by}+c----$ (i)

পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $(1,2)$ এবং অক্ষটি $x$-অক্ষের সমান্তরাল।

এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ:

$(y-2{)}^2=4a(x-1).......(ii)$

ইহা $(3,-2)$ বিন্দুগামী হলে,

$(-2-2{)}^2=4a(3-1)$

$\Rightarrow 16=4a\times 2$

$\therefore a=2$

(ii ) নং সমীকরণে a এর মান বসিয়ে পাই,

$(y-2{)}^2=4.2(x-1)$

$\Rightarrow y^2-4y+4=8x-8$

$\Rightarrow 8x=y^2-4y+12$

$\therefore x=\frac{1}{8}{y}^2-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}........\left(iii\right)$

(i) ও (iii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,

$a=\frac{1}{8},b=-\frac{1}{2},c=\frac{3}{2}$

দৃশ্যকল্প-২ হতে,

অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র $S(-6,0)$ এবং $S^{\prime }(6,0)$

কোটি একই, তাই অধিবৃত্তটি $x$-অক্ষের সমান্তরাল।

$\therefore$ কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $=(\frac{-6+6}{2},\frac{0+0}{2})=(0,0)$

উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $=10$

$\Rightarrow \frac{2b^2}{a}=10$

$\Rightarrow b^2=5a$

আবার, উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, ${\mathrm{SS}}^{\prime }=\sqrt{(-6-6{)}^2+(0-0{)}^2}$

$\Rightarrow 2\mathrm{ae}=12$

$\Rightarrow \mathrm{ae}=6$

$\Rightarrow a^2\cdot e^2=36$

$\Rightarrow a^2\cdot \frac{a^2+b^2}{a^2}=36$

$\Rightarrow a^2+5a-36=0$

$\Rightarrow a^2+9-4a-36=0$

$\Rightarrow a(a+9)-4(a+9)=0$

$\Rightarrow (a+9)(a-4)=0$

$\therefore a=4,-9$ [-9 গ্রহণযোগ্য নয়]

$a$ এর মান (i) নং এ বসাই, $b^2=20$

$\Rightarrow b=2\sqrt{5}$

নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ:

$\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{(2\sqrt{5}{)}^2}=1$