সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : σ(x)=px2+qx+r(p±0)…’ ফৌজদারহাট ক্যাডেট কলেজ ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, 
$\sigma \left(x\right)={\mathrm{px}}^2+\mathrm{qx}+r$. $......\left(i\right)$

$\mu \left(x\right)=x^2-cx+b$$......\left(ii\right)$

$\left(i\right)$ নং সমীকরণে, $p=1,q=-b$ এবং $r=c$ বসিয়ে পাই,

$\sigma \left(x\right)=x^2-bx+c$

$\sigma \left(x\right)=0$ এবং $\mu \left(x\right)=0$ হলে,

$x^2-bx+c=0$$......\left(iii\right)$

এবং $x^2-cx+b=0$$......\left(iv\right)$
ধরি, $\left(iii\right)$ নং সমীকরণের মূলদ্বয়  $\alpha ,\beta$

$\therefore \alpha +\beta =b$ এবং $\alpha \beta =c$

যেহেতু $\left(iii\right)$ ও $\left(iv\right)$ নং সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য ধ্রুবক।
$\therefore$ ধরি $\left(iv\right)$ নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha +k,\beta +k$

$\therefore \alpha +k+\beta +k=c$

বা, $b+2k=c$
বা, $k=\frac{c-b}{2}$
এবং $(\alpha +k)(\beta +k)=b$
বা, $\alpha \beta +(\alpha +\beta )k+k^2=b$
বা, $(c-b)+b\cdot \frac{c-b}{2}+{\left(\frac{c-b}{2}\right)}^2=0$
বা, $(c-b)(1+\frac{b}{2}+\frac{c-b}{4})=0$
বা, $1+\frac{b}{2}+\frac{c-b}{4}=0[\because c\ne b\therefore c-b\ne 0]$
বা, $4+2b+c-b=0$
$\therefore b+c+4=0$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $x^4-7x^3+18x^2-22x+12=0$
সমীকরণের একটি মূল  $1+i$
$\therefore \cdot$ সমীকরণটির  অপর একটি মূল $1-i$
[যেহেতু জটিল মূল অনুবন্ধী সহ থাকে]
ধরি, অপর মূলদ্বয়  $\alpha$ ও  $\beta$
$\therefore$ মূল-সহগ সম্পর্ক অনুসারে, $1+i+1-i+\alpha +\beta =7$
বা, $\alpha +\beta =5$

$\therefore \alpha =5-\beta$$......\left(i\right)$

এবং  $(1+i)(1-i)\cdot \alpha \cdot \beta =12$
বা, $(1-i^2)\alpha \beta =12$ বা, $(1+1)\alpha \beta =12$
বা, $\alpha \beta =6$ বা, $(5-\beta )\beta =6$ বা, $5\beta -{\beta }^2-6=0$
বা, ${\beta }^2-5\beta +6=0$ বা, $(\beta -2)(\beta -3)=0$
$\therefore \beta =2,3$
$\beta =2$ হলে  $\left(i\right)$ নং হতে পাই, $\alpha =5-2=3$
$\beta =3$ হলে  $\left(i\right)$ নং হতে পাই, $\alpha =5-3=2$
$\therefore$প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান : $1+i,1-i,2,3$.