সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: x=0,y=0 এবং…’ ইস্পাহানী পাবলিক স্কুল এন্ড কলেজ ২০২৫ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত রেখা তিনটি

$$ x = 0 ............. (i)

$$y = 0 ............ (ii)

$$x = 10 .......... (iii)

মনে করি, বৃত্তের সমীকরণ,

$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ............ (iv)

(iv) নং বৃত্তটি (i), (ii) ও (iii) নং রেখাকে স্পর্শ করে।

$y^2+2fy+c=0$ ........... (v)

$x^2+2\mathrm{gx}+c=0$ .......... (vi)

এবং ${10}^2+y^2+2g\cdot 10+2\mathrm{fy}+c=0$

বা, $100+y^2+20g+2fy+c=0$ .......... (vii)

(vii) নং হতে (v) নং বিয়োগ করে পাই,

$100+20g=0$

বা, $20g=-100$

$\therefore g=-5$

আবার, বৃত্তটি $y=0$ বা $x$-অক্ষকে স্পর্শ করলে,

$g^2=c$

বা, $(-5{)}^2=c$

বা, $25=c$

$\therefore c=25$

বৃত্তটি $x=0$ বা $y$-অক্ষকে স্পর্শ করলে,

$f^2=c$

বা, $f^2=25$

$\therefore f=\pm 5$

এখন, $g,f,c$ এর মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $x^2+y^2+2\cdot (-5)\cdot x+2\cdot (\pm 5)y+25=0$

বা, $x^2+y^2-10x\pm 10y+25=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2-10x+10y+25=0$

এখানে, $A(1,0)$ এবং $B(9,0)$ এবং বৃত্তটি $y$ অক্ষকে $D(0,3)$ বিন্দুতে স্পর্শ করে। $\therefore \mathrm{CF}\perp \mathrm{AB}$ তাই $F,\mathrm{AB}$ এর মধ্যবিন্দু।

$\therefore F\equiv (\frac{1+9}{2},\frac{0+0}{2})\equiv (5,0)$

বৃতটির কেন্দ্র C এর ভুজ হবে F এর $x$ স্থানাঙ্ক অর্থাং 5 এবং কোটি হবে D এর y স্থানাঙ্ক অর্থাৎ 3

$\therefore$ কেন্দ্র $C(5,3)$

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ $x^2+y^2+2\mathrm{gx}+2fy+c=0$ .......... (1)

এখানে, $g=-5,f=-3$

(1) নং বৃত্তটি যেহেতু y অক্ষকে স্পর্শ করে $c=f^2=(-3{)}^2=9$

$g,f,c$ এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2\cdot (-5)x+2\cdot (-3)g+9=0$

বা, $x^2+y^{-2}-10x-6y+9=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2-10x-6y+9=0$.

বিকল্প পদ্ধতি :

এখানে, A ও B বিন্দুদ্বয়ের স্থান্ঙ্ক যথাক্রমে, $(1,0)$ ও $(9,0)$

$\therefore A$ ও $B$ এর সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য;

$\mathrm{AB}=\sqrt{(9-1{)}^2+(0-0{)}^2}=\sqrt{8^2}=8$ একক।

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ, $x^2+y^2+2\mathrm{gx}+2fy+c=0$ ......... (1)

বৃত্তটি $y$-অক্ষকে স্পর্শ করে,

$\therefore f^2=c$ .......... (2)

আবার, (1) নং বৃত্তটি $(0,3)$ বিন্দুগামী,

$\therefore 0+3^2+2g\cdot 0+2\cdot f\cdot 3+c=0$

বা, $9+6f+c=0$

বা, $9+6f+f^2=0[\because c=f^2]$

বা, $(f+3{)}^2=0$

বা, $f+3=0$

$\therefore f=-3$

(2) নং হতে পাই, $c=(-3{)}^2=9\therefore c=9$

x-অক্ষের ছেদাংশ, $\mathrm{AB}=8$

বা, $2\sqrt{g^2-c}=8$

বা, $\sqrt{g^2-9}=4$

বা, $g^2-9=16$ [বর্গ করে]

বা, $g^2=16+9=25$

বা, $g=\pm 5$

$\therefore g=-5[\because$ বৃত্তটির কেন্দ্র প্রথম চতুর্ভাগে]

এখন, $g,f,c$ এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2\cdot (-5)\cdot x+2\cdot (-3)g+9=0$

বা, $x^2+y^2-10x-6y+9=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2-10x-6y+9=0$.