সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : x216+y29=1দৃশ্যকল্প-২…’ Combined ২০১৮ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত রেখা, $x-y-5=0$

বা, $y=x-5......\left(i\right)$

এবং উপবৃত্ত, $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$

বা, $9x^2+16y^2=144........\left(ii\right)$

(i) নং হতে $y$ এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

$9x^2+16(x-5{)}^2=144$

বা, $9x^2+16(x^2-10x+25)=144$

বা, $9x^2+16x^2-160x+400-144=0$

বা, $25x^2-160x+256=0$

বা, $(5x{)}^2-2.5x\cdot 16+(16{)}^2=0$

বা, $(5x-16{)}^2=0$

$\therefore x=\frac{16}{5},\frac{16}{5}$

অর্থাৎ রেখাটি উপবৃত্তকে একটি মাত্র বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং সরলরেখাটি উপবৃত্তকে স্পর্শ করে।

(i) নং এ $x$ এর মান বসিয়ে পাই,

$y=\frac{16}{5}-5=\frac{16-25}{5}=-\frac{9}{5}$

$\therefore$ স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{16}{5},\frac{-9}{5})$

দৃশ্যকল্প-২ এ প্রদত্ত সমীকরণ,

$4x^2-5y^2-16x+10y-9=0$

বা, $4x^2-16x+16-5(y^2-2y+1)-20=0$

বা, $4(x-2{)}^2-5(y-1{)}^2=20$

বা, $\frac{(x-2{)}^2}{5}-\frac{(y-1{)}^2}{4}=1$

একে $\frac{x^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$X=x-2$

$Y=y-1$

$a^2=5$

এবং $b^2=4$

উৎকেন্দ্রিকতা $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$

$=\sqrt{1+\frac{4}{5}}$

$=\sqrt{\frac{5+4}{5}}=\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$

$\therefore$ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $=\frac{2b^2}{a}=\frac{2.4}{\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}}$.

এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ,

$X=\pm$ ae

বা, $x-2=\pm \sqrt{5}\cdot \frac{3}{\sqrt{5}}$

বা, $x-2=\pm 3$

বা, $x=\pm 3+2$

$\therefore x=5$ এবং $x+1=0$

নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $\frac{8}{\sqrt{5}}$ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ $x=5$ এবং $x+1=0$.