সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: x2+5y2=5দৃশ্যকল্প-২: OZ=1,OS=4,e=2…’ বরিশাল বোর্ড ২০২১ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই ,

$x^2+5y^2=5$

$\Rightarrow \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{1}=1$

$\Rightarrow \frac{x^2}{(\sqrt{5}{)}^2}+\frac{y^2}{1^2}=1$

$\therefore a=\sqrt{5},b=1(a>b)$

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, e $=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

$\therefore$ দিকাক্ষের সমীকরণঃ

$x=\pm \frac{a}{e}$

$\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\pm \frac{5}{2}$

$\Rightarrow 2x\pm 5=0$

দৃশ্যকল্প-২ হতে,

ধরি, অধিবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1......\left(1\right)$

দেওয়া আছে, $\mathrm{OZ}=1,\mathrm{OS}=4$ এবং $e=2$

চিত্র হতে, $\mathrm{OZ}=\frac{a}{e}=1$

বা, $\frac{a}{2}=1$

বা, $a=2$

$\therefore a^2=4$

আবার, $e^2=\frac{a^2+b^2}{a^2}$

বা, $2^2=\frac{4+b^2}{4}$

বা, $4=\frac{4+b^2}{4}$

বা, $4+b^2=16$

বা, $b^2=16-4=12$

$\therefore b^2=12$

এখন, $a^2\leftrightarrow b^2$ এর মান (1)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$

বা, $3x^2-y^2=12$

নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ, $3x^2-y^2=12$

Note : এখানে, $e=\sqrt{2}$ এর পরিবর্তে $e=2$ হলে উদ্দীপকের তথ্যটি  সঠিক হাবে। সুতরাং $e=2$ ধরে সমাধান করা হয়েছে।