সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : x2+ax+14(a2−b2)=0…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $x^2+\mathrm{ax}+\frac{1}{4}(a^2-b^2)=0$$....\left(1\right)$ 

$\left(1\right)$ নং এর দুইটি মূল $\alpha ,\beta$ হলে, $\alpha +\beta =-\frac{a}{1}=-a$ এবং $\alpha \beta =\frac{a^2-b^2}{\frac{4}{1}}=\frac{a^2-b^2}{4}$
এখন,

$\begin{array}{cc}(\alpha -\beta {)}^2& =(\alpha +\beta )-4\alpha \beta \\ & =(-a{)}^2-4\cdot \frac{a^2-b^2}{4}=a^2-a^2+b^2=b^2\end{array}$

$\therefore \alpha -\beta =\pm b$
$(\alpha +\beta )$ ও $(\alpha -\beta )$ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

$x^2-\left\{\right(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )x+(\alpha +\beta \left)\right(\alpha -\beta )=0$

বা, $x^2-(-a\pm b)x+(-a)(\pm b)=0$
$\therefore x^2+(a\pm b)x\pm \mathrm{ab}=0$
$\therefore x^2+(a\pm b)x\pm ab=0$ সমীকরণের মূল দুইটি $\alpha +\beta$ ও $\alpha -\beta$.
(প্রমাণিত) 

দেওয়া আছে, ${\mathrm{mx}}^2+2x+1=0$ এবং $x^2+2x+m=0$ সমীকরণজ্যয়ের সাধারণ মূল $\alpha$

$\therefore m{\alpha }^2+2\alpha +1=0$$......\left(1\right)$

এবং ${\alpha }^2+2\alpha +m=0$$......\left(2\right)$
$\left(1\right)$ নং ও $\left(2\right)$ নং হতে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই,

$\frac{{\alpha }^2}{2m-2}=\frac{\alpha }{1-m^2}=\frac{1}{2m-2}$

এখন, $\frac{{\alpha }^2}{2m-2}=\frac{\alpha }{1-m^2}$
বা, $\frac{{\alpha }^2}{2(m-1)}=\frac{\alpha }{-(m^2-1^2)}$ বা, $\frac{{\alpha }^2}{2(m-1)}=\frac{\alpha }{-(m+1)(m-1)}$
$\therefore \alpha =\frac{-2}{m+1}$$......\left(3\right)$

এবং $\frac{\alpha }{1-m^2}=\frac{1}{2m-2}$
বা, $\frac{\alpha }{-(m^2-1^2)}=\frac{1}{2(m-1)}$ বা, $\frac{\alpha }{-(m+1)(m-1)}=\frac{1}{2(m-1)}$
বা, $\alpha =\frac{-(m+1)}{2}$$......\left(4\right)$
$\left(3\right)$ নং ও $\left(4\right)$ নং হতে পাই,

$\frac{-2}{m+1}=\frac{-(m+1)}{2}$

বা, $\frac{2}{m+1}=\frac{m+1}{2}$
বা, $(m+1{)}^2=4$
বা, $m^2+2m+1-4=0$
বা, $m^2+2m-3=0$
বা, $m^2+3m-m-3=0$
বা, $m(m+3)-1(m+3)=0$
বা, $(m-1)(m+3)=0$

বা, $m-1=0$
বা, $m=1$ 

অথবা, $m+3=0$
বা, $m=-3$

$\therefore m$ এর মান $1$ অথরা, $-3$. (দেখানো হলো)