সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: x2−px+pq=0.দৃশ্যকল্প-২: x2+ax+b=0…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২১ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রদত্ত সমীকরণ:

$x^2-px+pq=0$

ধরি,

সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$।

অতএব, মূলদ্বয়ের যোগফল, $\alpha +\beta =p$

এবং মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha \beta =pq$

প্রশ্নে দেওয়া আছে, মূলদ্বয়ের অন্তর $=r$

শর্তমতে, $\alpha -\beta =r$ [ধরি, $\alpha >\beta$]

আমরা জানি,

$(\alpha -\beta {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta$

$\Rightarrow r^2=p^2-4pq$

$\Rightarrow p^2-4pq=r^2$

$\Rightarrow p^2-2\cdot p\cdot \left(2q\right)+(2q{)}^2=r^2+(2q{)}^2$ [উভয়পক্ষে $(2q{)}^2$ যোগ করে]

$\Rightarrow (p-2q{)}^2=r^2+4q^2$

$\Rightarrow p-2q=\pm \sqrt{r^2+4q^2}$

$\therefore p=2q\pm \sqrt{r^2+4q^2}$

দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:

$x^2+ax+b=0........\left(i\right)$

$x^2+bx+a=0........\left(ii\right)$

ধরি, সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূলটি হলো $\alpha$।

তাহলে $\alpha$ দ্বারা সমীকরণ দুটি সিদ্ধ হবে।

${\alpha }^2+a\alpha +b=0........\left(iii\right)$

${\alpha }^2+b\alpha +a=0........\left(iv\right)$

সমীকরণ $\left(iii\right)$ হতে $\left(iv\right)$ বিয়োগ করে পাই:

$(a-b)\alpha +(b-a)=0$

$\Rightarrow (a-b)\alpha -(a-b)=0$

$\Rightarrow (a-b)(\alpha -1)=0$

যেহেতু সমীকরণ দুটি ভিন্ন, তাই $a\ne b$, অর্থাৎ $a-b\ne 0$।

সুতরাং,

$\alpha -1=0$

$\Rightarrow \alpha =1$

$\alpha$ এর মান $\left(iii\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$1^2+a\cdot 1+b=0$

$\Rightarrow a+b+1=0$

$\Rightarrow a+b=-1........\left(v\right)$

এখন, ধরি $\left(i\right)$ নং সমীকরণের অপর মূলটি $\beta$ এবং $\left(ii\right)$ নং সমীকরণের অপর মূলটি $\gamma$।

$\left(i\right)$ নং সমীকরণ হতে মূলদ্বয়ের গুণফল: $\alpha \beta =b\Rightarrow 1\cdot \beta =b\Rightarrow \beta =b$

$\left(ii\right)$ নং সমীকরণ হতে মূলদ্বয়ের গুণফল: $\alpha \gamma =a\Rightarrow 1\cdot \gamma =a\Rightarrow \gamma =a$

এখন, অপর দুটি মূল অর্থাৎ $\beta$ ও $\gamma$ (বা $b$ ও $a$) দ্বারা গঠিত নতুন সমীকরণ:

মূলদ্বয়েরযোগফলমূলদ্বয়েরগুণফল$x^2-\left(\text{মূলদ্বয়ের যোগফল}\right)x+\left(\text{মূলদ্বয়ের গুণফল}\right)=0$

$\Rightarrow x^2-(\beta +\gamma )x+\beta \gamma =0$

$\Rightarrow x^2-(b+a)x+ba=0$

$\Rightarrow x^2-(a+b)x+ab=0$

সমীকরণ $\left(v\right)$ হতে $a+b=-1$ মান বসিয়ে পাই:

$\Rightarrow x^2-(-1)x+ab=0$

$\therefore x^2+x+ab=0$ (দেখানো হলো)