সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: x−2y+1=0দৃশ্যকল্প-২: P→=i^−2j^+k^;Q→=2i^+j^−3k^.…’ বরিশাল বোর্ড ২০১৭ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ, $x-2y+1=0$

$\therefore$ রেখাটির ঢাল, $m_1=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$

আবার, $(1,2)$ বিন্দুগামী রেখার ঢাল $m_2$ হলে রেখাটির সমীকরণ, $y-2=m_2(x-1)$

শর্তানুসারে, tan ${45}^{\circ }=\pm \frac{m_2-m_1}{1+m_1{m}_2}$

বা, $1=\pm \frac{m_2-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}\cdot m_2}$

বা, $1+\frac{m_2}{2}=\pm (m_2-\frac{1}{2})$

বা, $2+m_2=\pm (2m_2-1)$

' + ' চিহ্ন নিয়ে পাই,

$2+m_2=2m_2-1$

বা, $m_2=3$

‘-' চিহ্ন নিয়ে পাই, $2+m_2=-2m_2+1$

বা, $3m_2=-1$

$\therefore m_2=-\frac{1}{3}$

$m_2$ এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,

$y-2=3(x-1)$

বা, $y-2=3x-3$

$\therefore 3x-y=1$

এবং $y-2=-\frac{1}{3}(x-1)$

বা, $3y-6=-x+1$

$\therefore x+3y=7$

$\therefore 3x-y=1$ এবং $x+3y=7$ নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ। (Ans.)

দেওয়া আছে, $P=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$

এবং $Q=2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$

$\therefore P+Q=(\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})+(2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})=3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}$

$\therefore (P+Q)$ বরাবর $Q$ এর উপাংশ $=\frac{\left\{\right(P+Q)\cdot Q\}(P+Q)}{|P+Q{|}^2}$

এখন, $(P+Q)\cdot Q=(3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k})\cdot (2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})$

$=6-1+6=11$

$|P+Q{|}^2=3^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2=9+1+4=14$

$\therefore$ নির্ণেয় উপাংশ $=\frac{11}{14}(3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k})$ (Ans.)