সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : x2+y2−2x+6y−15=0…’ সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ ২০২৬ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত বৃত্ত : $x^2+y^2-2x+6y-15=0$...... (i)

কেন্দ্র $(1,-3)$ এবং ব্যাসের প্রান্ত বিন্দু $(4,1)$ ব্যাসের ঢাল $=\frac{-3-1}{1-4}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$

∴ ব্যাসের সমান্তরাল স্পর্শকের ঢাল, $m=\frac{4}{3}$

ধরি, স্পর্শক $y=mx+c$

বা, $y=\frac{4}{3}x+c$

বা, $3y=4x+3c$

বা, $4x-3y+3c=0$ ......... (ii)

(i) নং বৃত্তের কেন্দ্র হতে (ii) নং রেখার দূরত্ব = বৃত্তটির ব্যাসার্ধ।

বা, $\frac{|4.1-3.(-3)+3c|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\sqrt{(1-4{)}^2+(-3-1{)}^2}$

বা, $\frac{|13+3c|}{5}=5$

বা, $13+3c=\pm 25$

বা, $3c=\pm 25-13$

$(+)$ নিয়ে, $3c=12$

$(-)$ নিয়ে, $3c=-38$

(ii) এ 3c এর মান বসিয়ে পাই,

$3c=12$ হলে, $4x-3y+12=0$

$3c=-38$ হলে, $4x-3y-38=0$

নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ : $4x-3y+12=0$

$4x-3y-38=0$

ধরি, বৃত্ত : $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ......... (i)

(i) নং বৃত্তটি $(0,0)$ বিন্দুগামী $\therefore c=0$

(i) নং $(2,1)$ বিন্দুগামী,

$2^2+1^2+2g\cdot 2+2f\cdot 1+c=0$

বা, $5+4g+2f+0=0$

বা, $5+4g+2f=0$ ......... (ii)

স্পর্শকের ঢাল $=\frac{-3}{4}$

অভিলম্বের ঢাল $=\frac{4}{3}$

$(2,1)$ বিন্দুগামী অভিলম্ব, $y-1=\frac{4}{3}(x-2)$

বা, $3y-3=4x-8$

বা, $4x-3y-5=0$ ......... (iii)

(iii) নং রেখাটি $(-g,-f)$ বিন্দুগামী,

$-4g+3f-5=0$

বা, $4g-3f+5=0$

বা, $5+4g-3f=0$ ........ (iv)

(ii) - (iv) $\Rightarrow 0+0+5f=0$

$\Rightarrow f=0$

(ii) এ $f=0$ বসিয়ে, $5+4g+0=0$

$g=\frac{-5}{4}$

(i) এ $g,f,c$ বসিয়ে,

$x^2+y^2-\frac{5}{2}x+0+0=0$

বা, $2x^2+2y^2-5x=0$

নির্ণেয় বৃত্তটির সমীকরণ $2x^2+2y^2-5x=0$.