সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প ১: x2+y2+4x−6y−12=0দৃশ্যকল্প…’ শহীদ সৈয়দ নজরুল ইসলাম কলেজ ২০২৬ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে, $x^2+y^2+4x-6y-12=0$

কেন্দ্র $(-2,3)$

দৃশ্যকল্প-২ হতে, $x^2+y^2-2x-4y-4=0$

কেন্দ্র $(1,2)$

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r

∴ বৃত্তটি কেন্দ্র $(-2,3)$ হলে বৃত্তের সমীকরণ,

$(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=r^2........\left(1\right)$

(1) নং বৃত্তটি $(1,2)$ বিন্দুগামী,

$(1+2{)}^2+(2-3{)}^2=r^2$

বা, $9+1=1^2$

$\therefore r=\sqrt{10}$

$r$ এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,

$(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=(\sqrt{10}{)}^2$

বা, $x^2+2.x.2+2^2+y^2-2.y.3+3^2=10$

বা, $x^2+y^2+4x-6y+4+9-10=0$

$\therefore x^2+y^2+4x-6y+3=0$; যা নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ

দৃশ্যকল্প-২ হতে, $x^2+y^2-2x-4y-4=0$

এখানে, $g=-1,f=-2,c=-4$

$\therefore$ ব্যাসার্ধ $=\sqrt{(-1{)}^2+(-2{)}^2-(-4)}$

$=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$

∴ ব্যাস $=2\times 3=6$

এখন, এমন দুইটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে যা $y$-অক্ষকে $(0,-4)$ বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং $x$- অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য 6 একক।

ধরি, বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$........ (1)

(1) নং বৃত্তটি $y$ অক্ষকে স্পর্শ করে,

$\therefore f^2=c.....\left(2\right)$

আবার, (1) নং বৃত্তটি $(0,-4)$ বিন্দুগামী

$\therefore 0^2+(-4{)}^2+2\cdot g\cdot 0+2\cdot f(-4)+c=0$

বা, $16-8f+c=0$

বা, $f^2-8f+16=0[\because f^2=c]$

বা, $(f-4{)}^2=0$

বা, $f-4=0$

$\therefore f=4$

এবং $c=f^2=4^2=16$

আবার, বৃত্তটি $x$ অক্ষ থেকে 6 একক খন্ডন করে।

$\therefore 2\sqrt{g^2-c}=6$

বা, $g^2-c=9$

বা, $g^2-16=9$

বা, $g^2=9+16$

বা, $g^2=25$

$\therefore g=\pm 5$

$g,f$ ও c এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2\pm 10x+8y+16=0$

যা নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ।