সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : x2+y2−6x=0…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১: এ$এx^2+y^2-6x=0$ .......... (i)

$x-4=0$ ...... .. (ii)

(ii) নং হতে পাই, $x-4=0\therefore x=4$

(i) নং এ$এx=4$ বসিয়ে পাই, $4^2+y^2-6\times 4=0$

বা, $y^2=8\therefore y=\pm 2\sqrt{2}$

সুতরাং (i) নং বৃত্ত ও (ii) নং রেখার ছেদবিন্দুদ্বয় $(4,\pm 2\sqrt{2})$

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ : $x^2+y^2+2\mathrm{gx}+2fy+c=0$ ....... (iii)

এখানে, কেন্দ্র $(-g,-f)$

প্রশ্নমতে, $(-g,-f)\equiv (7,0)$

সুতরাং, $-g=7$ বা, $g=-7$

$-f=0$ বা, $f=0$

$g$ ও $f$ এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2\cdot (-7)\cdot x+2\cdot 0\cdot y+c=0$

বা, $x^2+y^2-14x+c=0$.................(iv)

আবার, (iv) নং বৃত্তি $(4,\pm 2\sqrt{2})$ বিন্দুগামী,

$\therefore 4^2+(\pm 2\sqrt{2}{)}^2-14\times 4+c=0$

বা, $16+8-56+c=0$

বা, $-32+c=0\therefore c=32$

c এর মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $x^2+y^2-14x+32=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2-14x+32=0$

ধরি, $S_1=x^2+y^2+6x+4y+6=0$ ......... (1)

এবং $S_2=x^2+y^2+4x+2y+2=0$ .......... (2)

(1) ও (2) নং বৃত্তের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ,

$S_1-S_2=0$

বা, $x^2+y^2+6x+4y+6-(x^2+y^2+4x+2y+2)=0$

বা, $x^2+y^2+6x+4y+6-x^2-y^2-4x-2y-2=0$

বা, $2x+2y+4=0$

বা, $x+y+2=0$

$\therefore y=-(x+2)$ .......... (3)

(2) নং ও (3) নং হতে পাই,

$x^2+\{-(x+2){\}}^2+4x+2\{-(x+2\}+2=0$

বা, $x^2+(x+2{)}^2+4x-2(x+2)+2=0$

বা, $x^2+x^2+4x+4+4x-2x-4+2=0$

বা, $2x^2+6x+2=0$

বা, $x^2+3x+1=0$

বা, $x=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}=\frac{-3\pm \sqrt{9-4}}{2}=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$

$\therefore x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$

(3) নং এ $x$ এর মান বসিয়ে পাই,

$x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$ হলে, $y=-(\frac{-3+\sqrt{5}}{2}+2)$

$=-\left(\frac{-3+\sqrt{5}+4}{2}\right)$

$=-\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

$x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$ হলে, $y=-(\frac{-3-\sqrt{5}}{2}+2)$

$=-\left(\frac{-3-\sqrt{5}+4}{2}\right)=-\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

$\therefore$ (1) নং ও (2) নং বৃত্তের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার দুই প্রান্তবিন্দু যথাক্রমে, $(\frac{-3+\sqrt{5}}{2},\frac{-1-\sqrt{5}}{2})$ এবং $(\frac{-3-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2})$

আমরা জানি, ব্যাসের প্রান্তবিন্দু $(x_1,y_1)$ এবং $(x_2,y_2)$ এরূপ বৃত্তের সমীকরণ $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$

$\therefore (x-\frac{-3+\sqrt{5}}{2})(x-\frac{-3-\sqrt{5}}{2})+(y-\frac{-1-\sqrt{5}}{2})(y-\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=0$

বা, $x^2-(\frac{-3+\sqrt{5}}{2}+\frac{-3-\sqrt{5}}{2})x+\frac{(-3+\sqrt{5})(-3-\sqrt{5})}{4}+y^2$

$-(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}+\frac{-1+\sqrt{5}}{2})y+\frac{(-1-\sqrt{5})(-1+\sqrt{5})}{4}=0$

বা, $x^2-\left(\frac{-3+\sqrt{5}-3-\sqrt{5}}{2}\right)x+y^2-\left(\frac{-1-\sqrt{5}-1+\sqrt{5}}{2}\right)y+\frac{(-3{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}{4}+\frac{(-1{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}{4}=0$

বা, $x^2+3x+y^2+y+\frac{9-5}{4}+\frac{1-5}{4}=0$

বা, $x^2+y^2+3x+y+1-1=0$

$\therefore x^2+y^2+3x+y=0$