সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : x−2y+2z=1…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,

$x-2y+z=1$

$2x+6y-z=2$

$x+3y-3z=3$

$x,y,z$ এর সহগের নির্ণায়ক

$D=\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 2& 6& -1\\ 1& 3& -3\end{array}\right|=1(-18+3)+2(-6+1)+2(6-6)$

$=-15-10+0=-25\ne 0$

ধ্রুবক পদ, $y$ ও z এর সহগের নির্ণায়ক।

$D_x=\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 2& 6& -1\\ 3& 3& -3\end{array}\right|$

$=1(-18+3)+2(-6+3)+2(6-18)$

$=-15-6-24$

$=-45$

$x$ এর সহগ, ধ্রুবক পদ ও z এর সহগের নির্ণায়ক

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 2& -1\\ 1& 3& -3\end{array}\right|$

$=1(-6+3)-i(-6+1)+2(6-2)$

$=-3+5+8$

$=10$

x ও y এর সহগ এবং ধ্রুবক পদের নির্ণায়ক

$D_z=\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 2& 6& 2\\ 1& 3& 3\end{array}\right|$

$=1(18-6)+2(6-2)+1(6-6)$

$=12+8+0$

$=20$

$\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{-45}{-25}=\frac{9}{5}$

$\therefore y=\frac{D_y}{D}=\frac{10}{-25}=-\frac{2}{5}$

$z=\frac{D_z}{D}=\frac{20}{-25}=-\frac{4}{5}$

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান : $(x,y,z)=(\frac{9}{5},-\frac{2}{5},-\frac{4}{5})$

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,

$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& x& x^2\\ 1& y& y^2\\ 1& z& z^2\end{array}\right|,{\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ yz& zx& xy\\ x& y& z\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}0& x-y& x^2-y^2\\ 0& y-z& y^2-z^2\\ 1& z& z^2\end{array}\right|r_1^{\prime }=r_1-r_{2,},r_2^{\prime }=r_2-r_3$

$=0-0+1\left\{\right(x-y)(y^2-z^2)-(x^2-y^2)(y-z\left)\right\}$

$=(x-y)(y+z)(y-z)-(x+y)(x-y)(y-z)$

$=(x-y)(y-z)(y+z-x-y)$

$\therefore \Delta =(x-y)(y-z)(z-x)$

আবার, ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ yz& zx& xy\\ x& y& z\end{array}\right|$

$=\frac{1}{xyz}\left|\begin{array}{ccc}x& y& z\\ xyz& xyz& xyz\\ x^2& y^2& z^2\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}x& y& z\\ 1& 1& 1\\ x^2& y^2& z^2\end{array}\right|$

$=-\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x& y& z\\ x^2& y^2& z^2\end{array}\right|$ [১ম ও ২য় সারির স্থান বিনিময়]

$=-\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ x-y& y-z& z\\ x^2-y^2& y^2-z^2& z^2\end{array}\right|\begin{array}{c}{c}_1^{\prime }=c_1-c_2\\ c_2^{\prime }=c_2-c_3\end{array}$

$=-[0-0+1\left\{\right(x-y)(y^2-z^2)-(y-z),(x^2-y^2)\}]$

$=-\left[\right(x-y\left)\right(y+z\left)\right(y-z)-(y-z\left)\right(x+y\left)\right(x-y\left)\right]$

$=-\left[\right[(x-y)(y-z)\cdot (y+z-x-y)]$

$\therefore {\Delta }_1=-(x-y)(y-z)(z-x)$

$\therefore$ L.H.S $={\Delta }_1+{\Delta }_1$

$=(x-y)(y-z)(z-x)-(x-y)(y-z)(z-x)$

$=0$

$=$ R. H. S (দেখানো হলো)

অন্যভাবে,

দৃশ্যকল্প-২ হতে,

${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ yz& zx& xy\\ x& y& z\end{array}\right|,\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& x& x^2\\ 1& y& y^2\\ 1& z& z^2\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}1& x& x^2\\ 1& y& y^2\\ 1& z& z^2\end{array}\right|$ [কলাম ও সারির স্থান বিনিময় করে]

$=\frac{1}{xyz}\left|\begin{array}{ccc}x& xyz& x^2\\ y& xyz& y^2\\ z& xyz& z^2\end{array}\right|$

$=\frac{xyz}{xyz}\left|\begin{array}{ccc}x& 1& x^2\\ y& 1& y^2\\ z& 1& z^2\end{array}\right|$

$=-\left|\begin{array}{ccc}1& x& x^2\\ 1& y& y^2\\ 1& z& z^2\end{array}\right|$ [C ও $C_1{C}_2$ এর স্থান বিনিময় করে]

$\Rightarrow {\Delta }_1=-\Delta$

$\therefore {\Delta }_1+\Delta =0$ (দেখানো হলো)