সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: x=4, x=10…’ ২০২৫ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত তিনটি সরলরেখার সমীকরণ,

$x=4$..................(i)

$x=10$................(ii)

$y=0$................(iii)

ধরি, DEFG বৃত্তটি প্রদত্ত তিনটি সরলরেখাকে স্পর্শ করে।

∴ $x=4$ অর্থাৎ, $OA=4$

$x=10$ অর্থাৎ, $OB=10$

∴ বৃত্তের ব্যাস $GE=AB=OB-OA=10-4=6$

∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $=\frac{6}{2}=3$

∴ $CD=CE=CG=3$

∴ $OH=3[\because OH=CD]$

∴ বৃত্তটির কেন্দ্র $(OD,CD)=(7,3)$

$[\because OD=OA+AD=OA+CG=4+3=7]$

যা ১ম চতুর্ভাগে অবস্থিত।

প্রদত্ত রেখা তিনটিকে স্পর্শ করে এরূপ দুইটি বৃত্ত পাওয়া যাবে। যাদের একটির কেন্দ্র ১ম চতুর্ভাগে এবং অপরটির কেন্দ্র ৪র্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত হবে।

∴ ৪র্থ চতুর্ভাগে কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(7,–3)$
সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র $(7,\pm 3)$ এবং ব্যাসার্ধ $3$.

এখন, $(7,\pm 3)$ কেন্দ্র এবং $3$ ব্যাসার্ধ-বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ।

$(x-7{)}^2+(y\pm 3{)}^2=3^2$

বা, $x^2-14x+49+y^2\pm 6y+9=9$

বা, $x^2+y^2-14x\pm 6y+49=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ $x^2+y^2-14x\pm 6y+49=0$.

বাদৃশ্যপট-২ এর বৃত্তদ্বয়

$\begin{array}{cc}& C_1\equiv x^2+y^2+2x+3y+1=0\dots \dots \dots \text{ (i) }\\ & C_2\equiv x^2+y^2+4x+3y+2=0\dots \dots \text{ (ii) }\end{array}$

বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ, $C_1-C_2=0$

বা, $(2-4)x+(3-3)y+(1-2)=0$

বা, $-2x-1=0$

$\therefore 2x+1=0$ ... ... ... (iii)

(i) নং বৃত্ত ও (iii) নং জ্যা-এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,

$x^2+y^2+2x+3y+1+k(2x+1)=0$ ... ... ... (iv)

বা, $x^2+y^2+(2+2k)x+3y+k+1=0$

বা, $x^2+y^2+2(k+1)x+2\cdot \frac{3}{2}y+(k+1)=0$

(iv)নং বৃত্তের কেন্দ্র $(-k-1,\frac{-3}{2})$, যা (iii)নং রেখার উপর অবস্থিত।

$\therefore 2(-k-1)+1=0$

বা, $-2k-2+1=0$

বা, $-2k=1$

$\therefore k=-\frac{1}{2}$

k এর মান (iv) এ বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2x+3y+1-\frac{1}{2}(2x+1)=0$

বা, $2x^2+2y^2+4x+6y+2-2x-1=0$

বা, $2x^2+2y^2+2x+6y+1=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $2x^2+2y^2+2x+6y+1=0$.