সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : x=ay2+by+cদৃশ্যকল্প-২…’ ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(y\right)=a{y}^2+by+c$
এবং $f\left(y\right)=x$ 

$\therefore x=a{y}^2+by+c$$.............\left(1\right)$
আমরা জানি, $(\alpha ,\beta )$ শীর্ষ ও $x$ অক্ষের সমান্তরাল অক্ষরেখা বিশিষ্ট  
পরাবৃত্তের সমীকরণ, , $(y-\beta {)}^2=4a(x-\alpha )$
$\therefore (3,-2)$ শীর্ষবিশিষ্ট ও অক্ষরেখা $x$ অক্ষের সমান্তরাল পরাবৃত্তের সমীকরণ, 

$(y+2{)}^2=4a(x-3)$$.............\left(2\right)$

$\left(2\right)$ নং সমীকরণ  $(5,0)$ বিন্দুগামী,
$\therefore (0+2{)}^2=4a\times (5-3)$
বা, $4=4a\times 2$
বা, $2a=1$

$\therefore a=\frac{1}{2}$

$a$ এর মান $\left(2\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$(y+2{)}^2=4\times \frac{1}{2}(x-3)$

বা, $(y+2{)}^2=2(x-3)$
বা, $y^2+4y+4=2x-6$
বা, $2x=y^2+4y+10$

$\therefore x=\frac{y^2}{2}+2y+5$$.............\left(3\right)$

এখন  $\left(3\right)$ নং সমীকরণটিকে $\left(1\right)$ নং সমীকরণ $x=a{y}^2+by+c$ এর সাধ্ধে ডুনना করে পাই, $a=\frac{1}{2},b=2,c=5$.
নির্ণেয় মান: $a=\frac{1}{2},b=2,c=5$

দেওয়া আছে, উপবৃত্তের উপকেন্দ্র $S(-1,1)$
নিয়ামক রেখা  MZ এর সমীকরণ  $2x+y-3=0$ এবং উৎকেন্দ্রিকতা  $e=\frac{1}{2}$ 

ধরি, উপবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$ তাহলে উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে পাই,  

$\mathrm{SP}=\mathrm{ePM}$ 

বা, $\sqrt{(x+1{)}^2+(y-1{)}^2}=\frac{1}{2}\times \frac{|2x+y-3|}{\sqrt{2^2+1^2}}$
বা. $(x+1{)}^2+(y-1{)}^2=\frac{1}{4}\times \frac{(2x+y-3{)}^2}{5}$ [বর্গ করে]
বা, $(x^2+2x+1+y^2-2y+1)=\frac{(2x+y-3{)}^2}{20}$
বা, $20x^2+40x+20y^2-40y+40=4x^2+y^2+9+4xy-6y-12x$
বা, $10x^2+40x+20y^2-40y+40-4x^2-y^2-9-4xy+6y+12x=0$.
$\therefore 16x^2+19y^2+52x-34y-4xy+31=0$
নির্ণেয়  উপবৃত্তের সমীকরণ $16x^2+19y^2+52x-34y-4xy+31=0$.