সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : x=ay2+by+cদৃশ্যকল্প-২:…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপক-১ এ প্রদত্ত কণিক,

$x=a{y}^2+by+c$$.........\left(i\right)$

$\therefore$ কণিকটি অক্ষরেখা $x$ অক্ষের সমান্তরাল
এখন, $(1,2)$ শীর্ষবিন্দু এবং অক্ষরেখা $x$ অক্ষের সমান্তরাল পরাবৃত্তের সমীকরণ,

$(y-2{)}^2=4a(x-1)$$.........\left(ii\right)$

$\left(ii\right)$ নং সমীকরণ $(3,-2)$ বিন্দুগামী

$\therefore (-2-2)=4a(3-1)$

বা, $16=8a$

$\therefore a=2$

$a$ এর মান $\left(ii\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$(y-2{)}^2=4\times 2(x-1)$

বা, $y^2-4y+4=8x-8$
বা, $8x=y^2-4y+12$

$\therefore x=\frac{1}{8}{y}^2-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$.........\left(iii\right)$

$\left(iii\right)$ নং কে $\left(i\right)$ নং এর সাথে তুলনা করে পাই,

$a=\frac{1}{8},b=-\frac{1}{2}$

এবং $c=\frac{3}{2}$
নির্নেয় মান : $a=\frac{1}{8},b=-\frac{1}{2}$ এবং $c=\frac{3}{2}$, 

দেওয়া আছে, $f(x,y)=2x^2+y^2-8x-2y+1$
এখন, $f(x,y)=0$
বা, $2x^2+y^2-8x-2y+1=0$
বা, $2(x^2-4x)+y^2-2y+1=0$
বা, $2(x^2-2.x.2+2^2-2^2)+y^2-2.y.1+1^2=0$
বা, $2(x-2{)}^2-8+(y-1{)}^2=0$
বা, $2(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=8$
বা, $\frac{(x-2{)}^2}{4}+\frac{(y-1{)}^2}{8}=1$ 

$\therefore$ ইহা একটি উপবৃত্ত।
যেখানে, $a^2=4$
বা, $a=2$
শীর্ষ $(\alpha ,\beta )=(2,1)$ 

এবং $b^2=8$
বা, $b=2\sqrt{2}$. 

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\sqrt{1-\frac{4}{8}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\therefore$ উপকেন্দ্র $(\alpha ,\beta \pm e)=(2,1\pm 2\sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}})$ 

$=(2,1\pm 2)=(2,3)$ এবং $(2,-1)$ 

আবার, নিয়ামকের সমীকরণ, $y-\beta =\pm \frac{b}{e}$
বা, $y-1=\pm \frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$
বা, $y-1=\pm 4$
' + ' চিহ্ন নিয়ে, $y-1=4$
বা, $y-5=0$
'-' চিহ্ন নিয়ে, $y-1=-4$
বা, $y+3=0$
নির্ণেয় উপকেন্দ্র $(2,3),(2,-1)$ এবং নিয়ামকের সমীকরণ

$y-5=0,y+3=0$