সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:x=by2+cy+a একটি কনিক।দৃশ্যকল্প-২:…’ ২০২৬ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত সমীকরণ : $x=\mathrm{by}{y}^2+\mathrm{cy}+a$. . . . . . . . . . . (i)

(i) নং কণিকটির শীর্ষবিন্দু $(1,-2)$ এবং কণিকটি $(3,0)$ বিন্দুগামী কণিকটির অক্ষরেখা $x$-অক্ষের সমান্তরাল।
এখন, শীর্ষ ( $1,-2$ ) এবং অক্ষরেখা $x$-অক্ষের সমান্তরাল পরাবৃত্তের সমীকরণ, $(y+2{)}^2=4a(x-1)$. . . . . . . . . . . (ii)
(3) নং পরাবৃত্ত $(3,0)$ বিন্দুগামী, $(0+2{)}^2=4a(3-1)$

বা, $4=4a\times 2$
বা, $8a=4$
বা, $a=\frac{4}{8}\therefore a=\frac{1}{2}$

a এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

$(y+2{)}^2=4\frac{1}{2}(x-1)$
বা, $y^2+4y+4=2(x-1)$
বা, $y^2+4y+4=2x-2$
বা, $2x=y^2+4y+4+2$
বা, $2x=y^2+4y+6$
$\therefore x=\frac{1}{2}{y}^2+2y+3$ . . . . . . . . . . . (iii)
সুতরাং (i) নং এর (iii) নং তুলনা করে পাই, $b=\frac{1}{2},c=2,a=3$

নির্নেয় মান $a=3,b=\frac{1}{2}$ এবং $c=2$.

দৃশ্যকল্প-১ বর্ণিত কনিকটি একটি উপবৃত্ত যার $x$ অক্ষ বৃহৎ অক্ষ এবং $y$ অক্ষ ক্ষুদ্র অক্ষ।
মনে করি, উপবৃত্তটির সমীকরণ, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. . . . . . . . . . . . .(1)

এখানে, উপকেন্দ্র S(1,0), শীর্ষবিন্দু A( $\frac{2}{\sqrt{3}},0)$.
$\therefore a=\frac{2}{\sqrt{3}}$
বা, $a^2=\frac{4}{3}$

আবার, $\mathrm{ae}=1$
বা, $\frac{2}{\sqrt{3}}\times e=1$
বা, $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\therefore e^2=\frac{3}{4}$

এবং $e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}$
বা, $\frac{3}{4}=\frac{\frac{4}{3}-b^2}{\frac{4}{3}}$
বা, $1=\frac{4}{3}-b^2$
$\therefore b^2=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$

$a^2$ ও $b^2$ এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{\frac{4}{3}}+\frac{y^2}{\frac{1}{3}}=1$

বা, $\frac{3x^2}{4}+3y^2=1$

$\therefore 3x^2+12y^2=4$

নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ, $3x^2+12y^2=4$.