সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: x=sin (lny)…’ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৪ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$x=\sin (\ln y)$

$\therefore \ln y={\sin }^{-1}x$

$\therefore y=e^{{\sin }^{-1}x}$

$y_1=e^{{\sin }^{-1}x}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\Rightarrow y_1=\frac{e^{{\sin }^{-1}x}}{\sqrt{1-x^2}}$

$\Rightarrow y_1\left(\sqrt{1-x^2}\right)=e^{{\sin }^{-1}x}$

$\Rightarrow y_1\sqrt{1-x^2}=y$

$\Rightarrow y_1^2(1-x^2)=y^2$

$\Rightarrow y_1^2-y_1^2{x}^2=y^2$

$\Rightarrow 2y_1{y}_2-[x^2\cdot 2y_1{y}_2-y_1^2\cdot 2x]=2y{y}_1$

$\Rightarrow 2y_1{y}_2-2y_1{y}_2{x}^2+2x{y}_1^2=2y{y}_1$

$\Rightarrow y_2-x^2{y}_2-x_1=y\text{ (Prod). }$

$\Rightarrow (1-x^2)y^2-x{y}_1-y=0\text{ (P) }$

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=x^4-8x^3+22x^2-24x+15$

$f^{\prime }\left(x\right)=4x^3-24x^2+44x-24$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=12x^2-48x+44$

সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মানের জন্য $f^{\prime }\left(x\right)=0$.

$\therefore 4x^3-24x^2+44x-24=0$

বা, $4x^3-4x^2-20x^2+20x+24x-24=0$

বা, $4x^2(x-1)-20x(x-1)+24(x-1)=0$

বা, $(x-1)(4x^2-20x+24)=0$

বা, $4(x-1)(x^2-5x+6)=0$

বা, $(x-1)(x^2-3x-2x+6)=0$

বা, $(x-1)\left\{x\right(x-3)-2(x-3\left)\right\}=0$

বা, $(x-1)(x-2)(x-3)=0$

$\therefore x=1,2,3$

এখন, x = 1 বিন্দুতে,

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=12\times 1^2-48\times 1+44$

$=12-48+44=8>0$

$\therefore x=1$বিন্দুতে, $f\left(x\right)$এর সর্বনিম্ন মান বিদ্যামান।

$\therefore$ সর্বনিম্ন মান $=(1{)}^4-8(1{)}^3+22(1{)}^2-24(1)+15$

$=1-8+22-24+15=6$

আবার,

$x^{4/}=2$ বিন্দুতে $(0,f^{\prime \prime }(x)=12\times 2^2-48\times 2+44,$

$=48-96+44=-4<0$

$\therefore x=2$বিন্দুতে$f\left(x\right)$এর সর্বোচ্চ মান বিদ্যামান।

$\therefore$ সর্বোচ্চ মান $=(2{)}^4-8(2{)}^3+22(2{)}^2-24(2)+15$

$=16-64+88-48+15=7$

এবং,

x = 3 বিন্দুতে $f^{\prime \prime }\left(x\right)=12\times 3^2-48\times 3+44$

$=108-144+44=8>0$

$\therefore x=3$বিন্দুতে, $f\left(x\right)$এর সর্বনিম্ন মান বিদ্যামান।

$\therefore$ সর্বনিম্ন মান $=(3{)}^4-8(3{)}^3+22(3{)}^2-24(3)+15$

$=81-216+198-72+15=6$

$\therefore f\left(x\right)$ফাংশনটির গুরু মান 7 এবং লঘুমান 6।