সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : XYZ…’ যশোর বোর্ড ২০২৩ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

মনে করি, XYZ সমবাহু ত্রিভুজের YZ,ZX এবং XY বাহুর সমান্তরালে 5,7 এবং 9 একক মানের বল তিনটি O বিন্দুতে OX, OY এবং OZ বরাবর কার্যরত।

ধরি, বলগুলোর লব্ধি R যা OX এর সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে। 

এখানে, OX এর সাথে 7 একক ও 9 একক বলদ্বয় যথাক্রমে $({180}^{\circ }-{60}^{\circ })$ ও $({180}^{\circ }+{60}^{\circ })$) কোণ উৎপন্ন করে।

এখন, OX এবং এর উপর লম্বরেখা বরাবর উপাংশ নিয়ে পাই, 

$R\cos \theta =5\cos 0^{\circ }+7\cos ({180}^{\circ }-{60}^{\circ })+9\cos ({180}^{\circ }+{60}^{\circ })$

বা, $R\cos \theta =5+7\times (-\frac{1}{2})+9(-\frac{1}{2})$

বা, $R\cos \theta =5-\frac{7}{2}-\frac{9}{2}$

$\therefore R\cos \theta =-3$

এবং R $\sin \theta =5\sin 0^{\circ }+7\sin ({180}^{\circ }-{60}^{\circ })+9\sin ({180}^{\circ }+{60}^{\circ })$

বা, $R\sin \theta =5\times 0+7\times \frac{\sqrt{3}}{2}+9\times (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

বা, $R\sin \theta =0+\frac{7\sqrt{3}}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{2}$

$\therefore R\sin \theta =-\sqrt{3}$

এখন, $(1{)}^2+(2{)}^2$ করে পাই,

$R^2({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=(-3{)}^2+(-\sqrt{3}{)}^2$

বা, $R^2=9+3=12$

$\therefore R=2\sqrt{3}$

অতএব, দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি $2\sqrt{3}$ একক।

$(M+M_1)$

মনে করি, AB=2P দৈর্ঘ্যের তক্তাটি C ও D বিন্দুতে দুইটি খুঁটির উপর অনুভূমিকভাবে স্থাপিত যেখানে CD=l এবং ওজন M যা এর মধ্যবিন্দু O তে ক্রিয়া করে।

সুতরাং, $AO=BO=\frac{2p}{2}=P.$

তক্তাটি না উল্টিয়ে A প্রান্তে সর্বাধিক $M_1$ ওজন ঝুলানো যায়। তখন D বিন্দুতে চাপ শূন্য এবং A ও O তে কার্যকর ওজনের লব্ধি $(M+M_1)$, C তে ক্রিয়া করে।

$\therefore M\times \mathrm{OD}=M_2\times \mathrm{BD}$

বা, $\frac{BD}{OD}=\frac{M}{M_2}$

বা, $\frac{BD+OD}{OD}=\frac{M+M_2}{M_2}$ [যোজন করে]

বা, $\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OD}}=\frac{M+M_2}{M_2}$

বা, $\frac{P}{OD}=\frac{M+M_2}{M_2}$

$\therefore OD=\frac{M_2}{M+M_2}\cdot P\dots \dots \left(2\right)$

 (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$\mathrm{OC}+\mathrm{OD}=\frac{M_1}{M+M_1}\cdot P+\frac{M_2}{M+M_2}\cdot P$

বা, $CD=P(\frac{M_1}{M+M_1}+\frac{M_2}{M+M_2})$

বা, $l=P(\frac{M_1}{M+M_1}+\frac{M_2}{M+M_2})$

$\therefore \frac{M_1}{M+M_1}+\frac{M_2}{M+M_2}=\frac{l}{P}$ (প্রমাণিত)