সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ :x+y+z=1x+2y+z=2x+y+2z=0দৃশ্যকল্প-২ :…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৩ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,

$x+y+z=1$

$x+2y+z=2$

$x+y+2z=0$

$x,y,z$ এর সহগের নির্ণায়ক $D=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|$

$=1(4-1)-1(2-1)+1(1-2)$

$=3-1-1$

$=1\ne 0$

ধ্রুবক পদ এবং $y,z$ এর সহগের নির্ণায়ক,

$D_x=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 2& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right|(4-1)-1(4-0)+1(2-0)$

$=1(4-1)$

$=3-4+2$

$=1$

$x$ এর সহগ ধ্রুবক পদ এবং $z$ এর সহগের নির্ণায়ক,

$Dy=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 0& 2\end{array}\right|$

$=1(4-0)-1(2-1)+1(0-2)$

$=4-1-2$

$=1$

$x,y$ এর সহগ এবং ধ্রুবক পদের নির্ণায়ক,

$D_z=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 1& 1& 0\end{array}\right|$

$=1(0-2)-1(0-2)+1(1-2)$

$=-2+2-1$

$=-1$.

$\therefore x=\frac{Dx}{D}=\frac{1}{1}=1$

$\therefore y=\frac{Dy}{D}=\frac{1}{1}=1$

$\therefore z=\frac{Dz}{D}=\frac{1}{-1}=1$

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান : $(x,y,z)=(1,1,-1)$

দেওয়া আছে, $S=p+q+r$

এখন, $D=8\left|\begin{array}{ccc}\frac{p-q-r}{2}& p& p\\ q& \frac{q-r-p}{2}& q\\ r& r& \frac{r-p-q}{2}\end{array}\right|$

$=8.\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}p-q-r& 2p& 2p\\ 2q& q-r-p& 2q\\ 2r& 2r& r-p-q\end{array}\right|$

$=8.\frac{1}{8}\left|\begin{array}{ccc}p+q+r& p+q+r& p+q+r\\ 2q& q-r-p& 2q\\ 2r& 2r& r-p-q\end{array}\right|x_1^{\prime }=r_1+r_2+r_3$

$=(p+q+r)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2q& q-r-p& 2q\\ 2r& 2r& r-p-q\end{array}\right|$

$=(p+q+r)\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ p+q+r& -(p+q+r)& 2q\\ 0& p+q+r& r-p-a\end{array}\right|\begin{array}{c}{c}_1^{{}^{\prime }}=c_1-c_2\\ c_2^{{}^{\prime }}=c_2-c_3\end{array}$

$=(p+q+r{)}^3\left|\begin{array}{cc}p+q+r& -(p+q+r)\\ 0& p+q+r\end{array}\right|$

[১ম সারি সাপেক্ষে বিস্তার করে]

$=(p+q+r)(p+q+e{)}^2+0)$

$=(p+q+r{)}^3=S^3$ যেখানে $s=p+q+r]$

$\therefore D=s^3$ (প্রমাণিত)