সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: x−y+z=2,2x+z=5,x+2y−3z=−4. দৃশ্যকল্প-২:…’ ২০২৫ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $x-y+z=2$

$2x+z=5$ বা, $2x+0y+z=5$

$x+2y-3z=-4$

সমীকরণ তিনটিকে $AX=B$ আকারে প্রকাশ করে পাই,

$\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 0& 1\\ 1& 2& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 5\\ -4\end{array}\right]$

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 0& 1\\ 1& 2& -3\end{array}\right],$

$x=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$ এবং $B=\left[\begin{array}{c}2\\ 5\\ -4\end{array}\right]$

$\therefore |A|=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 0& 1\\ 1& 2& -3\end{array}\right|$

$=\mid (0-2)+1(-6-1)+1(4-0)$

$=-2-7+4=-5\ne 0$

$\therefore A^{-1}$ নির্ণয় সম্ভব।

A ম্যাট্রিক্সের সহগুণকগুলি নিম্নরূপ :

$A_{11}=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& -3\end{array}\right|$

$=0-2=-2$

$A_{12}=-\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -3\end{array}\right|$

$=-(-6-1)=7$

$A_{13}=\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 2\end{array}\right|$

$=4-0=4$

$A_{21}=-\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -3\end{array}\right|$

$=-(3-2)=-1$

$A_{22}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -3\end{array}\right|$

$=-3-1=-4$

$A_{23}=-\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 2\end{array}\right|$

$=-(2+1)=-3$

$A_{31}=\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right|$

$=-1-0=-1$

$A_{32}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|$

$=-(1-2)=1$

$A_{33}=\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 0\end{array}\right|$

$=0+2=2.$

$\therefore \mathrm{Adj}A={\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]}^T$

$={\left[\begin{array}{ccc}-2& 7& 4\\ -1& -4& -3\\ -1& 1& 2\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{ccc}-2& -1& -1\\ 7& -4& 1\\ 4& -3& 2\end{array}\right]$

$\therefore A^{-1}=\frac{\mathrm{Adj}A}{\left|A\right|}=\frac{1}{-5}\left[\begin{array}{ccc}-2& -1& -1\\ 7& -4& 1\\ 4& -3& 2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{5}& \frac{1}{5}& \frac{1}{5}\\ \frac{-7}{5}& \frac{4}{5}& \frac{-1}{5}\\ \frac{-4}{5}& \frac{3}{5}& \frac{-2}{5}\end{array}\right]$

নির্ণেয় বিপরীত ম্যাট্রিক্স $\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{5}& \frac{1}{5}& \frac{1}{5}\\ \frac{-7}{5}& \frac{4}{5}& \frac{-1}{5}\\ \frac{-4}{5}& \frac{3}{5}& \frac{-2}{5}\end{array}\right]$

দেওয়া আছে, 

$\frac{x}{5}+\frac{2}{5}y-\frac{z}{5}=\frac{3}{7}x-\frac{y}{7}+\frac{3}{7}z$

$=\frac{z}{11}x+\frac{3}{11}y+\frac{z}{11}=1$.

অর্থাৎ, $\frac{x}{5}+\frac{2}{5}y-\frac{z}{5}=1$

বা, $x+2y-z=5$

$\frac{3}{7}x-\frac{y}{7}+\frac{3}{7}z=1$ বা, $3x-y+3z=7$

এবং $\frac{2}{11}x+\frac{3}{11}y+\frac{z}{11}=1$

বা, $2x+3y+z=11$

$x,y,z$ এর সহগুণক নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক

$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& -1& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right|$

$=1(-1-9)-2(3-6)-1(9+2)$

$=-10+6-11=-15$

এখন, $D_x=\left|\begin{array}{ccc}5& 2& -1\\ 7& -1& 3\\ 11& 3& 1\end{array}\right|$

$=5(-1-9)-2(7-33)-1(21+11)$

$=-50+52-32=-30$

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}1& 5& -1\\ 3& 7& 3\\ 2& 11& 1\end{array}\right|$

$=1(7-33)-5(3-6)-1(33-14)$

$=-26+15-19=-30$

$D_z=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 3& -1& 7\\ 2& 3& 11\end{array}\right|$

$=1(-11-21)-2(33-14)+5(9+2)$

$=-32-38+55=-15$

$\therefore x=\frac{Dx}{D}=\frac{-30}{-15}=2,$

$y=\frac{D_y}{D}=\frac{-30}{-15}=2$

এবং $z=\frac{D_i}{D}=\frac{-15}{-15}=1$

নির্ণেয় সমাধান : $(x,y,z)=(2,2,1)$.