সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : y…’ বরিশাল বোর্ড ২০২২ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$y=a\cot (\ln x)$

উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$y_1=-a{\mathrm{cosec}}^2(\ln x)\cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$

$\Rightarrow y_1=-a{\mathrm{cosec}}^2(\ln x)\cdot \frac{1}{x}$

আড়গুণন করে পাই,

$\Rightarrow x{y}_1=-a{\mathrm{cosec}}^2(\ln x)$

পুনরায় উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ ($uv$ মেথড) করে পাই,

$x{y}_2+y_1\cdot 1=-a\cdot 2\mathrm{cosec}(\ln x)\cdot \frac{d}{dx}\left(\mathrm{cosec}\right(\ln x\left)\right)$

$\Rightarrow x{y}_2+y_1=-2a\mathrm{cosec}(\ln x)\cdot \{-\mathrm{cosec}(\ln x)\cot (\ln x)\cdot \frac{d}{dx}(\ln x\left)\right\}$

$\Rightarrow x{y}_2+y_1=-2a\mathrm{cosec}(\ln x)\cdot \{-\mathrm{cosec}(\ln x)\cot (\ln x)\cdot \frac{1}{x}\}$

$\Rightarrow x{y}_2+y_1=\frac{2a{\mathrm{cosec}}^2(\ln x)\cot (\ln x)}{x}$

উভয়পক্ষকে $x$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x^2{y}_2+x{y}_1=2{\mathrm{cosec}}^2(\ln x)\cdot \{a\cot (\ln x\left)\right\}$

যেহেতু $y=a\cot (\ln x)$, মান বসিয়ে পাই,

$x^2{y}_2+x{y}_1=2y{\mathrm{cosec}}^2(\ln x)\text{(Showed)}$

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+1$

$x$ এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ করে পাই,

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12x+9$

$f^{″}\left(x\right)=6x-12$

লঘুমান বা গুরুমানের জন্য শর্তমতে, $f^{\prime }\left(x\right)=0$

$3x^2-12x+9=0$

$\Rightarrow 3(x^2-4x+3)=0$

$\Rightarrow x^2-3x-x+3=0$

$\Rightarrow x(x-3)-1(x-3)=0$

$\Rightarrow (x-3)(x-1)=0$

$\therefore x=1,3$

অর্থাৎ, $x=1$ এবং $x=3$ বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান বা গুরুমান বিদ্যমান।

এখন দ্বিতীয় অন্তরজে ($f^{″}\left(x\right)$) মান বসিয়ে পাই:

যখন $x=1$,

$f^{″}\left(1\right)=6\left(1\right)-12=-6<0$

যেহেতু মান ঋণাত্মক, তাই $x=1$ বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান (Maximum Value) রয়েছে।

$\therefore$ গুরুমান $=f\left(1\right)=1^3-6(1{)}^2+9(1)+1=1-6+9+1=5$

যখন $x=3$,

$f^{″}\left(3\right)=6\left(3\right)-12=18-12=6>0$

যেহেতু মান ধনাত্মক, তাই $x=3$ বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান (Minimum Value) রয়েছে।

$\therefore$ লঘুমান $=f\left(3\right)=3^3-6(3{)}^2+9(3)+1=27-54+27+1=1$

নির্ণেয় গুরুমান $5$ এবং লঘুমান $1$।