সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: y2=x+3,x=eyদৃশ্যকল্প-২: f(z)=z−1,…’ ২০২৫ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(z\right)=z-1$ এবং$g\left(z\right)=z^2+4$

প্রদত্ত রাশি $=\int \frac{f\left(z\right)+1}{f\left(z\right)g\left(z\right)}dz$

$=\int \frac{z-1+1}{(z-1)(z^2+4)}dz$

$=\int \frac{z}{(z-1)(z^2+4)}dz$

$=\int \frac{(z-1)+1}{(z-1)(z^2+4)}dz$

$=\int \frac{1}{z^2+4}dz+\int \frac{1}{(z-1)(z^2+4)}dz$

$=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{z}{2}+\frac{1}{5}\int \{\frac{1}{z-1}-\frac{z+1}{z^2+4}\}dz$

$=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{z}{2}+\frac{1}{5}\ln |z-1|-\frac{1}{5}\int (\frac{z}{z^2+4}+\frac{1}{z^2+4})dz$

$=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{z}{2}+\frac{1}{5}\ln |z-1|-\frac{1}{2.5}\ln |z^2+4|-\frac{1}{5.2}{\tan }^{-1}\frac{z}{2}+c$

$=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{z}{2}+\frac{1}{5}\ln |z-1|-\frac{1}{10}\ln |z^2+4|-\frac{1}{10}{\tan }^{-1}\frac{z}{2}+c$

$=(\frac{1}{2}-\frac{1}{10}){\tan }^{-1}\frac{z}{2}+\frac{1}{5}\ln |z-1|-\frac{1}{10}\ln |z^2+4|+c$

$=\frac{2}{5}{\tan }^{-1}\frac{z}{2}+\frac{1}{5}\ln |z-1|-\frac{1}{10}\ln |z^2+4|+c$

নির্ণেয় যোজিত ফল $\frac{2}{5}{\tan }^{-1}\frac{z}{2}+\frac{1}{5}\ln |z-1|-\frac{1}{10}\ln |z^2+4|+c$.

দেওয়া আছে,

$\begin{array}{cc}& y^2=x+3\\ \therefore & x=y^2-3\end{array}$

এবং$x\ne e^y$

প্রদত্ত বক্ররেখাদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল,

$A={\int }_{-1}^1(x_1-x_2)dy$

$={\int }_{-1}^1(y^2-3-e^y)dy$

$={[\frac{y^3}{3}-3y-e^y]}_{-1}^1$

$=(\frac{1}{3}-3-e)-(\frac{-1}{3}+3-e^{-1})$

$=\frac{1}{3}-3-e+\frac{1}{3}-3+\frac{1}{e}$

$=\frac{2}{3}-6-e+\frac{1}{e}$

$=\frac{2-18}{3}-e+\frac{1}{e}$

$=(\frac{1}{e}-e-\frac{16}{3})$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $(\frac{1}{e}-e-\frac{16}{3})$ বর্গএকক।