সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:y=ax2+bx+cদৃশ্যকল্প-২:20×2+36y2+40x−108y−79=0 .…’ ২০২৬ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $y={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$...................(1)
(1) নং পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা $y$ অক্ষের সমান্তরাল আমরা জানি, $(\alpha ,\beta )$ শীর্ষ ও $y$ অক্ষের সমান্তরাল অক্ষরেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ, $(x-\alpha {)}^2=4a(y-\beta )$.
$\therefore (-2,3)$ শীর্ষ ও $y$ অক্ষের সমান্তরাল অক্ষরেখা বিশিল্ট পরাবৃত্তের
সমীকরণ, $(x+2{)}^2=4a(y-3)$...................(2)
(2) নং পরাবৃত্তটি $(0,5)$ বিন্দুগামী,

$\therefore (0+2{)}^2=4a(5-3)$

বা, $4=4a\times 2$
বা, $1=2a\therefore a=\frac{1}{2}$

a এর মান (2)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $(x+2{)}^2=4\times \frac{1}{2}(y-3)$
বা, $x^2+4x+4=2y-6$
বা, $2y=x^2+4x+10$

$\therefore y=\frac{1}{2}{x}^2+2x+5$...................(3)

এখন (3) নং সমীকরণকে (1)নং সমীকরণ $y={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $a=\frac{1}{2},b=2,c=5$
নির্ণেয় মান: $a=\frac{1}{2},b=2,c=5$.

প্রদত্ত সমীকরণ, $20x^2+36y^2+40x-108y-79=0$
বা, $20x^2+40x+20+36y^2-108y+81-180=0$
বা, $20(x^2+2x+1)+36y^2-108y+81=180$
বা, $20(x+1{)}^2+(6y-9{)}^2=180$
বা, $20(x+1{)}^2+36{(y-\frac{3}{2})}^2=180$
বা, $\frac{20(x+1{)}^2}{180}+\frac{36{(y-\frac{3}{2})}^2}{180}=1$

$\therefore \frac{(x+1{)}^2}{9}+\frac{{(y-\frac{3}{2})}^2}{5}=1$.................(i)

ইহা উপবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ।
(i) নং সমীকরণকে $\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$\begin{array}{ccc}{a}^2=9,& b^2=5& Y=y-\frac{3}{2}\\ \therefore a=3& \therefore b=\sqrt{5}& X=x+1\end{array}$

উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\frac{2}{3}$
∴ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $=(\pm ae,0)$

অর্থাৎ, X = ± ae
বা, $x+1=\pm 3\times \frac{2}{3}$
বা, $x+1=\pm 2$
$\therefore x=1,-3$

এবং $Y=0$
$y-\frac{3}{2}=0$
$\therefore y=\frac{3}{2}$

∴ উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $(1,\frac{3}{2})$ এবং $(-3,\frac{3}{2})$
নিয়ামকরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, $X=\pm \frac{a}{e}$
বা, $x+1=\pm \frac{2}{\frac{2}{3}}=\pm \frac{9}{2}$
বা, $2x+2=\pm 9$

(+) চিহ্ন বসিয়ে, $2x+2=9$

$\therefore 2x-7=0$

(-) চিহ্ন বসিয়ে
2x + 2 = - 9
$\therefore 2x+11=0$

নিয়ামকরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, $2x-7=0$ এবং $2x+11=0$.