সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:y=ax2+bx+cদৃশ্যকল্প-২:20×2+36y2+40x−108y−79=0 .…’ কুমিল্লা ভিক্টোরিয়া সরকারি কলেজ ২০২৬ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

দৃশ্যকল্প-১ এর পরাবৃত্তের সমীকরণ: $y=a{x}^2+bx+c\dots \dots \left(1\right)$

এটি একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে যার অক্ষরেখা $y$ অক্ষের সমান্তরাল।

আমরা জানি, শীর্ষবিন্দু $(h,k)$ এবং $y$ অক্ষের সমান্তরাল অক্ষরেখাবিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ:

$y=A(x-h{)}^2+k$ [যেখানে $A$ একটি ধ্রুবক]

যেহেতু পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $(-2,3)$, সেহেতু সমীকরণটি হবে:

$y=A(x+2{)}^2+3\dots \dots (2)$

পরাবৃত্তটি $(0,5)$ বিন্দুগামী। সুতরাং বিন্দুটি দ্বারা পরাবৃত্তের সমীকরণটি সিদ্ধ হবে:

$5=A(0+2{)}^2+3$

বা, $5-3=4A$

বা, $2=4A$

$\therefore A=\frac{1}{2}$

এখন, $A$ এর মান $\left(2\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$y=\frac{1}{2}(x+2{)}^2+3$

বা, $y=\frac{1}{2}(x^2+4x+4)+3$

বা, $y=\frac{1}{2}{x}^2+2x+2+3$

$\therefore y=\frac{1}{2}{x}^2+2x+5\dots \dots \left(3\right)$

এখন, প্রাপ্ত $\left(3\right)$ নং সমীকরণকে প্রদত্ত $\left(1\right)$ নং সমীকরণ $y=a{x}^2+bx+c$ এর সাথে তুলনা করে পাই:

$a=\frac{1}{2},b=2,c=5$

$\therefore$ নির্ণেয় মান: $a=\frac{1}{2},b=2,c=5$।

প্রদত্ত কনিকের সমীকরণ:

$20x^2+36y^2+40x-108y-79=0$

বা, $20x^2+40x+36y^2-108y=79$

বা, $20(x^2+2x)+36(y^2-3y)=79$

বা, $20(x^2+2x+1)+36(y^2-2\cdot y\cdot \frac{3}{2}+\frac{9}{4})=79+20\left(1\right)+36\left(\frac{9}{4}\right)$

বা, $20(x+1{)}^2+36{(y-\frac{3}{2})}^2=79+20+81$

বা, $20(x+1{)}^2+36{(y-\frac{3}{2})}^2=180$$[$ উভয়পক্ষকে $180$ দ্বারা ভাগ করে পাই, $]$

$\frac{(x+1{)}^2}{9}+\frac{{(y-\frac{3}{2})}^2}{5}=1\dots \dots \left(i\right)$

এটি একটি উপবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ।

$\left(i\right)$ নং সমীকরণকে $\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$X=x+1$

$Y=y-\frac{3}{2}$

$a^2=9\Rightarrow a=3$

$b^2=5\Rightarrow b=\sqrt{5}$

যেহেতু $a>b$, তাই উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষ $X$ অক্ষ বরাবর অবস্থিত।

উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$

উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয়:

আমরা জানি, $a>b$ হলে উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(\pm ae,0)$

অর্থাৎ, $X=\pm ae$ এবং $Y=0$

এখানে, $X=\pm ae$

বা, $x+1=\pm 3\times \left(\frac{2}{3}\right)$

বা, $x+1=\pm 2$

$(+)$ চিহ্ন নিয়ে, $x+1=2\Rightarrow x=1$

$(-)$ চিহ্ন নিয়ে, $x+1=-2\Rightarrow x=-3$

আবার, $Y=0$

বা, $y-\frac{3}{2}=0\Rightarrow y=\frac{3}{2}$

$\therefore$ উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: $(1,\frac{3}{2})$ এবং $(-3,\frac{3}{2})$। 

নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয়:

আমরা জানি, নিয়ামকরেখার সমীকরণ, $X=\pm \frac{a}{e}$

বা, $x+1=\pm \frac{3}{\frac{2}{3}}$

বা, $x+1=\pm \frac{9}{2}$

বা, $2x+2=\pm 9$

$(+)$ চিহ্ন নিয়ে,

$2x+2=9$

$\Rightarrow 2x-7=0$

$(-)$ চিহ্ন নিয়ে,

$2x+2=-9$

$\Rightarrow 2x+11=0$

$\therefore$ নিয়ামকরেখাদ্বয়ের সমীকরণ: $2x-7=0$ এবং $2x+11=0$।