সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : y=cos⁡(2sin−1⁡x)…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $y=\cos (2{\sin }^{-1}x)$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{dy}{dx}=-\sin (2{\sin }^{-1}x)\cdot 2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

বা, ${\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2={\{-\sin (2{\sin }^{-1}x)\cdot \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\}}^2$ [বর্গ করে]

বা, ${\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2={\sin }^2(2{\sin }^{-1}x)\frac{4}{(1-x^2)}$

বা, $(1-x^2){\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2=4{\sin }^2(2{\sin }^{-1}x)=4\{1-{\cos }^2(2{\sin }^{-1}x)\}=4(1-y^2)$

বা, $(1-x^2)\times 2\frac{dy}{dx}\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2\cdot (0-2x)=4(0-2y\frac{dy}{dx})$

বা, $(1-x^2)\cdot \frac{2dy}{dx}\cdot \frac{d^{2}y}{d{x}^2}-2x{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2=0-8y\frac{dy}{dx}$

বা, $(1-x^2)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-x\frac{dy}{dx}=-4y[2\frac{dy}{dx}$ দ্বারা ভাগ করে $]$

$\therefore (1-x^2)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-x\frac{dy}{dx}+4y=0$.

(দেখানো হলো)

চিত্রে হতে, $z=x+y$

বামপক্ষ $={\cos }^{2}x+{\cos }^{2}y+{\cos }^{2}z$

$=\frac{1}{2}(2{\cos }^{2}x+2{\cos }^{2}y)+{\cos }^{2}z$

$=\frac{1}{2}(1+\cos 2x+1+\cos 2y)+{\cos }^{2}z$

$=\frac{1}{2}\cdot 2+\frac{1}{2}(\cos 2x+\cos 2y)+{\cos }^{2}z$

$=1+\frac{1}{2}\cdot 2\cos \frac{2x+2y}{2}\cdot \cos \frac{2x-2y}{2}+{\cos }^{2}z$

$=1+\cos (x+y)\cdot \cos (x-y)+{\cos }^{2}z$

$=1+\cos z\cdot \cos (x-y)+{\cos }^{2}z$

$=1+\cos z[\cos (x-y)+\cos z]$

$=1+\cos z\cdot 2\cos \frac{x-y+z}{2}\cdot \cos \frac{x-y-z}{2}$

$=1+2\cos z\cdot \cos \left(\frac{x-y+x+y}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{x-y-x-y}{2}\right)$

$=1+2\cos z\cdot \cos x\cdot \cos (-y)$

$=1+2\cos x\cdot \cos y\cdot \cos z$

= ডানপক্ষ

$\therefore {\cos }^{2}x+{\cos }^{2}y+{\cos }^{2}z=1+2\cos x\cdot \cos y\cdot \cos z\cdot$ (দেখানো হলো)