সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : z1=−1+3i…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$z_1=-1+\sqrt{3}i$ এবং

$z_2=1-\sqrt{3}i$

এখন,

$z_1{z}_2=(-1+\sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i)$

$=-1+\sqrt{3}i+\sqrt{3}i-3i^2$

$=-1+2\sqrt{3}i-3(-1)$

$=-1+2\sqrt{3}i+3$

$=2+2\sqrt{3}i$

বামপক্ষ ($L.H.S$):

$L.H.S=\arg \left(z_1{z}_2\right)=\arg (2+2\sqrt{3}i)$

যেহেতু জটিল সংখ্যাটি ১ম চতুর্ভাগে অবস্থিত (বাস্তব ও কাল্পনিক উভয় অংশই ধনাত্মক),

$\therefore \arg \left(z_1{z}_2\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right)={\tan }^{-1}\left(\sqrt{3}\right)=\frac{\pi }{3}$

ডানপক্ষ $(R.H.S)$ এর মান নির্ণয়:

$z_1=-1+\sqrt{3}i$ জটিল সংখ্যাটি ২য় চতুর্ভাগে অবস্থিত,

$\therefore \arg \left(z_1\right)=\pi -{\tan }^{-1}\left|\frac{\sqrt{3}}{-1}\right|=\pi -{\tan }^{-1}\left(\sqrt{3}\right)=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$

আবার, $z_2=1-\sqrt{3}i$ জটিল সংখ্যাটি ৪র্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত,

$\therefore \arg \left(z_2\right)=-{\tan }^{-1}\left|\frac{-\sqrt{3}}{1}\right|=-{\tan }^{-1}\left(\sqrt{3}\right)=-\frac{\pi }{3}$

এখন,

$R.H.S=\arg \left(z_1\right)+\arg \left(z_2\right)$

$=\frac{2\pi }{3}+(-\frac{\pi }{3})$

$=\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{3}$

$=\frac{\pi }{3}$

$\therefore L.H.S=R.H.S$ (Proved)

দেওয়া আছে,

$g\left(x\right)=l+mx+n{x}^2$

এবং শর্তমতে, $l+m+n=0$

সুতরাং,

$g\left(\omega \right)=l+m\omega +n{\omega }^2$

এবং $g\left({\omega }^2\right)=l+m{\omega }^2+n({\omega }^2{)}^2=l+m{\omega }^2+n{\omega }^4=l+m{\omega }^2+n\omega$ [যেহেতু ${\omega }^3=1$, তাই ${\omega }^4=\omega$]

বামপক্ষ:

$=\left\{g\right(\omega ){\}}^3+\{g\left({\omega }^2\right){\}}^3$

$=(l+m\omega +n{\omega }^2{)}^3+(l+m{\omega }^2+n\omega {)}^3$

ধরি, $x=l+m\omega +n{\omega }^2$ এবং $y=l+m{\omega }^2+n\omega$

প্রদত্ত রাশি $=x^3+y^3$

$=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

$=(x+y)\{x^2+(-1)xy+y^2\}$

$=(x+y)\{x^2+(\omega +{\omega }^2)xy+{\omega }^3{y}^2\}$ [যেহেতু $\omega +{\omega }^2=-1$ এবং ${\omega }^3=1$]

$=(x+y)(x^2+xy\omega +xy{\omega }^2+y^2{\omega }^3)$

$=(x+y)\left\{x\right(x+y\omega )+y{\omega }^2(x+y\omega \left)\right\}$

$=(x+y)(x+y\omega )(x+y{\omega }^2)$ ....... $\left(i\right)$

এখন, $x$ ও $y$ এর মান বসিয়ে আলাদাভাবে রাশিগুলোর মান বের করি:

১ম অংশ:

$x+y=(l+m\omega +n{\omega }^2)+(l+m{\omega }^2+n\omega )$

$=2l+m(\omega +{\omega }^2)+n(\omega +{\omega }^2)$

$=2l+m(-1)+n(-1)$

$=2l-m-n=2l-(m+n)$

$=2l-(-l)$ [যেহেতু $l+m+n=0⟹m+n=-l$]

$=3l$

২য় অংশ:

$x+y\omega =(l+m\omega +n{\omega }^2)+\omega (l+m{\omega }^2+n\omega )$

$=l+m\omega +n{\omega }^2+l\omega +m{\omega }^3+n{\omega }^2$

$=l+m\omega +2n{\omega }^2+l\omega +m\left(1\right)$

$=(l+m)+(l+m)\omega +2n{\omega }^2$

$=(l+m)(1+\omega )+2n{\omega }^2$

$=(-n)(-{\omega }^2)+2n{\omega }^2$ [যেহেতু $l+m=-n$ এবং $1+\omega =-{\omega }^2$]

$=n{\omega }^2+2n{\omega }^2$

$=3n{\omega }^2$

৩য় অংশ:

$x+y{\omega }^2=(l+m\omega +n{\omega }^2)+{\omega }^2(l+m{\omega }^2+n\omega )$

$=l+m\omega +n{\omega }^2+l{\omega }^2+m{\omega }^4+n{\omega }^3$

$=l+m\omega +n{\omega }^2+l{\omega }^2+m\omega +n\left(1\right)$

$=(l+n)+2m\omega +(l+n){\omega }^2$

$=(l+n)(1+{\omega }^2)+2m\omega$

$=(-m)(-\omega )+2m\omega$ [যেহেতু $l+n=-m$ এবং $1+{\omega }^2=-\omega$]

$=m\omega +2m\omega$

$=3m\omega$

এখন, $\left(i\right)$ নং সমীকরণে মানগুলো বসিয়ে পাই:

বামপক্ষ $=\left(3l\right)\times \left(3n{\omega }^2\right)\times \left(3m\omega \right)$

$=27lmn\cdot {\omega }^3$

$=27lmn\cdot 1$

$=27lmn$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore \left\{g\right(\omega ){\}}^3+\{g\left({\omega }^2\right){\}}^3=27lmn$ (প্রমাণিত)