সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: z=2+4i−i2দৃশ্যকল্প-২: px2+qx+r=0…’ রাজশাহী বোর্ড ২০১৭ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$\begin{array}{c}z=2+4i-i^2=2+4i-(-1)\\ =2+4i+1=3+4i\end{array}$

$\bar{Z},z$ এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা।

 $\therefore \bar{z}=3-4i$

$\bar{z}$ এর বর্গমূল $=\sqrt{3-4i}$
ধরি, $\sqrt{3-4}i=x+\mathrm{iy}$.... (i)
বা, $3-4i=(x+\text{ iy }{)}^2=x^2+2xiy+i^2{y}^2$

$\therefore 3-4i=(x^2-y^2)+2xiy$

উভয় পক্ষের বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,

x² - y² = 3 ........ (ii)

এবং 2xy = - 4

এখন, 

$\begin{array}{cc}{(x^2+y^2)}^2=& {(x^2-y^2)}^2+4x^2{y}^2\\ & =(3{)}^2+(2xy{)}^2\\ & =9+(-4{)}^2\\ & =9+16=25\end{array}$

$\therefore x^2+y^2=\pm 5$

কিন্তু $x^2+y^2\ne -5$ কারণ দুটি সংখ্যার বর্গের যোগফল ঋণাত্মক হতে পারে না। 

$\therefore x^2+y^2=5$ ........ (iii)

(ii) ও (iii) যোগ করে পাই,

4 - y² = 3 বা, y²=1 ∴ y=±1

x ও y এর মান (i) এ বসিয়ে পাই, ± 2 ±i

∴ বর্গমূলের মডুলাস $=\sqrt{(\pm 2{)}^2+(\pm 1{)}^2}=\sqrt{5}$

∴ z এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা $\sqrt{5}$

 $\frac{2}{\alpha }$ এবং $\frac{2}{\beta }$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,

$\frac{2}{\alpha }$ এবং $\frac{2}{\beta }$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ, 

$x^2-(\frac{2}{\alpha }+\frac{2}{\beta })x+\frac{2}{\alpha }\times \frac{2}{\beta }=0$

বা, $x^2-2\left(\frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }\right)x+\frac{4}{\alpha \beta }=0$
বা, $x^2-2\left(\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}\right)x+\frac{4}{\frac{c}{a}}=0$
বা, $x^2+\frac{2b}{c}x+4\times \frac{a}{c}=0$

$\therefore {\mathrm{cx}}^2+2\mathrm{bx}+4a=0$