সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: z=32+iদৃশ্যকল্প-২ :…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে $z=32+i$

$\overline{z}=32-i[\because z=x+iy$ হলে $\overline{z}=x-iy]$

এখন, $z+\bar{z}=32+i+32-i$

বা, $z+\overline{z}=64$

ধরি, $x=\sqrt[3]{z+\overline{z}}$

বা, $x=\sqrt[3]{64}$

বা, $x^3=64$

বা, $x^3-64=0$

বা, $x^3-(4{)}^3=0$

বা, $(x-4)(x^2+4x+16)=0$

হয়, $(x-4)=0$

$\therefore x=4$

অথবা, $x^2+4x+16=0$

বা$\begin{array}{cc}& \text{ বা, }x=\frac{-4\pm \sqrt{(4{)}^2-4\cdot 1\cdot 16}}{2\cdot 1}\\ & =\frac{-4\pm \sqrt{16-64}}{2}=\frac{-4\pm \sqrt{-48}}{2}\\ & =\frac{-4\pm 4\sqrt{3}i}{2}[\because i^2=-1]\\ & =-2\pm 2\sqrt{3}i\end{array}$

$z+\bar{z}$ এর ঘনমূলসমূহ $4,-2+2\sqrt{3}i,-2-2\sqrt{3}i$.

দৃশ্যকল্প-২ এ, $)m^2+n^2)x^2+2(mp+nq)x+p^2+q^2=0$.

সমীকরণ (1) এর নিশ্চায়ক D হলে,

$\begin{array}{cc}& D=\left\{2\right(mp+nq){\}}^2-4\cdot (m^2+n^2)\cdot (p^2+q^2)\\ & D=\left\{2\right(mp+nq){\}}^2-4(m^2+n^2)(p+m^2+q^2\\ & =4(m^2{p}^2+2mpqn+n^2{q}^2)-4(m^2{p}^2+m^2{q}^2+n^2{p}^2+n^2{q}^2)\\ & =4\{m^2{p}^2+n^2{q}^2+2mnpq-m^2{p}^2-m^2{q}^2-n^2{p}^2-n^2{q}^2\}\\ & =4\{-m^2{q}^2+2mnpq-n^2{p}^2\}\\ & =-4\left\{\right(\mathrm{mq}{)}^2-2\mathrm{mq}\cdot \mathrm{np}+\left(\mathrm{np}{)}^2\right\}\\ & =-4(mq-np{)}^2\end{array}$

এখন, $-4(mq-np{)}^2$ বা, বাস্তব হবে যদি ও কেবল যদি $mq-n{p}^2=0$ হয়। $mq-np=0$ হলে,

$D=-4(0{)}^2=0$ অর্থাৎ মূলদ্বয় সমান হবে।

ধরি, সমান মূলদ্বয় $\alpha$

সুতরাং, $\alpha +\alpha =-\frac{2(\mathrm{mp}+\mathrm{nq})}{m^2+n^2}$

বা, , $2\alpha =-\frac{2(\mathrm{mp}+\mathrm{nq})}{m^2+n^2}$

$\therefore \alpha =-\frac{\mathrm{mp}+nq}{m^2+n^2}$

নির্ণেয় সমান মূলদ্বয় $-\frac{mp+nq}{m^2+n^2}$.