সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: z=3x+4yশর্তসমূহ: x+y≤4502x+y≤600y≤400x,y≥0দৃশ্যকল্প-২…’ সিলেট বোর্ড ২০১৯ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

অভীষ্ট ফাংশন, $z=3x+4y$

শর্তসমূহ: $x+y\le 450$

$2x+y\le 600$

$y\le 400$

$x,y\ge 0$

অসমতাগুলিকে সমতা ধরে সমাধানযোগ্য সমীকরণসমূহ হতে কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি:

$x+y=450$ বা, $\frac{x}{450}+\frac{y}{450}=1........\left(1\right)$

অর্থাৎ A $(450,0),B(0,450)$

$2x+y=600$ বা, $\frac{x}{300}+\frac{y}{600}=1........\left(2\right)$

অর্থাৎ C $(300,0),D(0,600)$

$y=400........\left(3\right)$ যা সর্বদাই x অক্ষের সমান্তরাল

$x=0........\left(4\right)$

এবং $y=0........\left(4\right)$

$x$ ও $y$ অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে ২৫ একক ধরে ছক কাগজে লেখচিত্র অঙ্কন করে সমাধান এলাকা চিহ্নিত করি।

লের্খচিত্র হতে পাই সমাধান এলাকা OCEFG।

E, F, G বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $(150,300),(50,400),(0,400)$

এখানে, $O(0,0)$ বিন্দুতে, $z=0+0=0$

C $(300,0)$ বিন্দুতে, $z=3\times 300+4\times 0=900$

E $(150,300)$ বিন্দুতে, $z=3\times 150+4\times 300=1650$

F $(50,400)$ বিন্দুতে, $z=3\times 50+4\times 400=1750$

$G(0,400)$ বিন্দুতে, $z=3\times 0+4\times 400=1600$

দেখা যাচ্ছে যে $F(50,400)$ বিন্দুতে $z$ এর মান 1750 যা সর্বোচ্চ।

निর্ণেয় সর্বোচ্চমান 1750.

দৃশ্যকল্প -2 এর সমীকরণ $y^2+y+1=0$

বা, $y=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4.1.1}}{2.1}$

$=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}[\therefore i=\sqrt{-1}]$

$=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=\omega ,{\omega }^2$

সমীকরণটির মূলদ্বয় $P=\omega$ এবং $q={\omega }^2$

এখন, $p^m+q^m$

$={\omega }^m+{\left({\omega }^2\right)}^m={\omega }^m+{\omega }^{2m}$

এখানে, $m=3n$ হলে,

$p^m+q^m={\omega }^{3n}+{\left({\omega }^2\right)}^{3n}={\left({\omega }^3\right)}^n+{\left({\omega }^3\right)}^{2n}=1+1[\therefore ({\omega }^3=1]$

$=2$

$m=3n+1$ হলে,

$p^m+q^m={\omega }^{3n+1}+{\left({\omega }^2\right)}^{3n+1}$

$\begin{array}{cc}& ={\left({\omega }^3\right)}^n\cdot \omega +{\left({\omega }^3\right)}^{2n}\cdot {\omega }^2\\ & =\omega +{\omega }^2[\therefore {\omega }^3=1]\\ & =-1[\therefore 1+\omega +{\omega }^2=0]\end{array}$

$mm=3n+2$ হলে, $p^m+q^m=(\omega {)}^{3n+2}+{\left({\omega }^2\right)}^{3n+2}$

$\begin{array}{cc}& ={\left({\omega }^3\right)}^n\cdot {\omega }^2+{\left({\omega }^3\right)}^{2n}\cdot {\omega }^3\omega \\ & ={\omega }^2+\omega [\therefore {\omega }^3=1]\\ & =-1[\therefore 1+\omega +{\omega }^2=0]\end{array}$

অর্থাৎ $m$ এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য হলে $p^m+q^m$ এর মান 2 এবং $m$ এর মান অপর যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হলে, $p^m+q^m$ এর মান -1 .

যখনএরমানদ্বারাবিভাজ্যযখনঅপরকোনোপূর্ণসংখ্যা$\therefore p^m+q^m=\{\begin{array}{c}2,\text{ যখন }m\text{ এর মান }3\text{ দ্বারা বিভাজ্য }\\ -1,\text{ যখন }m\text{ অপর কোনো পূর্ণসংখ্যা }\end{array}$ (দেখানো হলো)