সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: z=rcos⁡θ+irsin⁡θ…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$z=r\cos \theta +ir\sin \theta$

এখানে, $\theta ={45}^{\circ }$ ও $r=1$ হলে,

$z=1\cdot \cos {45}^{\circ }+i\cdot 1\cdot \sin {45}^{\circ }$

$\Rightarrow z=\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$z^2={\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)}^2$

$\Rightarrow z^2=\frac{(1+i{)}^2}{2}$

$\Rightarrow z^2=\frac{1+2i+i^2}{2}$

$\Rightarrow z^2=\frac{1+2i-1}{2}$$[\because i^2=-1]$

$\Rightarrow z^2=\frac{2i}{2}$

$\Rightarrow z^2=i$

এখন পুনরায় বর্গ করে পাই,

$(z^2{)}^2=i^2$

$\Rightarrow z^4=-1$

প্রদত্ত রাশি,

$=z^8+z^6+z^4+z^2+1$

$=(z^4{)}^2+z^4\cdot z^2+z^4+z^2+1$

মান বসিয়ে পাই,

$=(-1{)}^2+(-1)\cdot i+(-1)+i+1$

$=1-i-1+i+1$

$=1$

নির্ণেয় মান: $1$

দেওয়া আছে,

$z=r\cos \theta +ir\sin \theta$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$z^2=(r\cos \theta +ir\sin \theta {)}^2$

$\Rightarrow z^2=r^2(\cos \theta +i\sin \theta {)}^2$

$\Rightarrow z^2=r^2({\cos }^2\theta +2i\sin \theta \cos \theta +i^2{\sin }^2\theta )$

$\Rightarrow z^2=r^2({\cos }^2\theta +i\cdot 2\sin \theta \cos \theta -{\sin }^2\theta )$$[\because i^2=-1]$

$\Rightarrow z^2=r^2\left\{\right({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )+i(2\sin \theta \cos \theta \left)\right\}$

ত্রিকোণমিতিক সূত্রমতে, ${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =\cos 2\theta$ এবং $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$

$\Rightarrow z^2=r^2(\cos 2\theta +i\sin 2\theta )$

$\Rightarrow z^2=r^2\cos 2\theta +i\cdot r^2\sin 2\theta$

সুতরাং,

$\mathrm{Arg}\left(z^2\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{r^2\sin 2\theta }{r^2\cos 2\theta }\right)$

$={\tan }^{-1}\left(\frac{\sin 2\theta }{\cos 2\theta }\right)$

$={\tan }^{-1}(\tan 2\theta )$

$=2\theta$

আবার,

$z=r\cos \theta +ir\sin \theta$ হতে পাই,

$2\mathrm{Arg}\left(z\right)=2\cdot {\tan }^{-1}\left(\frac{r\sin \theta }{r\cos \theta }\right)$

$=2{\tan }^{-1}\left(\frac{\sin \theta }{\cos \theta }\right)$

$=2{\tan }^{-1}(\tan \theta )$

$=2\times \theta$

$=2\theta$

যেহেতু, $\mathrm{Arg}\left(z^2\right)=2\theta$ এবং $2\mathrm{Arg}\left(z\right)=2\theta$

$\therefore \mathrm{Arg}\left(z^2\right)=2\mathrm{Arg}\left(z\right)$ (প্রমাণিত)