সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প ১−১:f(x)=sin⁡3x⋅cos⁡4xদৃশ্যকল্প-২: g(x)=x3+xy2−3×2+4x+5y+2=0…’ সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ ২০২৬ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin 3x\cdot \cos 4x$

বা, $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot 2\cos 4x\cdot \sin 3x$

বা, $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\{\sin 7x-\sin x\}$

বা, $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2}(7\cos 7x-\cos x)$

বা, $f^{\prime \prime }\left(x\right)=\frac{1}{2}(-49\sin 7x+\sin x)$

$\therefore f^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}(-49\sin \frac{7\pi }{2}+\sin \frac{\pi }{2})$

$=\frac{1}{2}\{-49\sin 7\cdot (\frac{\pi }{2}+0^{\circ }+\sin \frac{\pi }{2})$

$=\frac{1}{2}\cdot (49\cos 0^{\circ }+1)=\frac{1}{2}(49+1)=\frac{1}{2}\times 50=25$

$\therefore f^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=25$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f(x,y)=x^3+{\mathrm{xy}}^2-3x^2+4x+5y+2$

এখন, $f(x,y)=0$ হলে, $x^3+{\mathrm{xy}}^2-3x^2+4x+5y+2=0$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$3x^2+2xy\frac{dy}{dx}+y^2-6x+4+5\frac{dy}{dx}=0$

বা, $\frac{dy}{dx}(2xy+5)+(3x^2-6x+4+y^2)=0$

বা, $\frac{dy}{dx}(2xy+5)=-(3x^2+y^2-6x+4)$

বা, $\frac{dy}{dx}=\frac{-(3x^2+y^2-6x+4)}{2xy+5}$

$\therefore (1,-1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, $m=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{-(3+1-6+4)}{2\cdot 1\cdot (-1)+5}=-\frac{2}{3}$

$\therefore (1,-1)$ বিন্দুতে অভিলম্বের ঢাল, $m_1=\frac{1}{\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)}=-\frac{1}{\left(\frac{-2}{3}\right)}=\frac{3}{2}$

$\therefore (1,-1)$ বিন্দুগামী স্পর্শকের সমীকরণ,

$(y-y_1)=m(x-x_1)$

বা, $(y+1)=-\frac{2}{3}(x-1)$

বা, $3y+3=-2x+2\therefore 2x+3y+1=0$

এবং $(1,-1)$ বিন্দুগামী অভিলম্বের সমীকরণ,

$(y-y_1)=m_1(x-x_1)$

বা, $(y+1)=\frac{3}{2}(x-1)$

বা, $2y+2=3x-3$

$\therefore 3x-2y-5=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $2x+3y+1=0$ এবং অভিলম্বের সমীকরণ, $3x-2y-5=0$.