সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১দৃশ্যকল্প-২ : উপবৃত্তের…’ রাজশাহী বোর্ড ২০১৯ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

উপকেন্দ্র, $S(-2,3)$

শীর্ষবিন্দু $A(5,3)$

ধরি, $Z(a,b)$

$\mathrm{SZ}$ এর মধ্যবিন্দু $(\frac{a-2}{2},\frac{b+3}{2})$

প্রশ্নমতে, $(\frac{a-2}{2},\frac{b+3}{2})=(5,3)$

$\therefore \frac{a-2}{2}=5$

বা, $a-2=10$

বা, $a=12$

এবং $\frac{b+3}{2}=3$

বা, $b+3=6$

বা, $b=3$

$z(12,3)$

$\mathrm{SZ}$ রেখার ঢাল $=\frac{3-3}{-2-12}=0$

$\therefore$ নিয়ামক রেখার ঢাল $=\frac{-1}{0}$.

$Z(12,3)$ বিন্দুগামী নিয়ামক রেখা :

$y-3=-\frac{-1}{0}(x-12)$

বা, $x-12=0$

$\therefore MZ$ রেখা : $x-12=0$

ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোন বিন্দু $P(x,y)$

সংজ্ঞানুসারে, SP = PM

বা, $\sqrt{(x+2{)}^2+(y-3{)}^2}=\frac{|x-12|}{\sqrt{1}}$

বা, $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=(x-12{)}^2$ [বর্গ করে]

বা, $x^2+4x+4+y^2-6y+9=x^2-24x+144$

$\therefore y^2+28x-6y-131=0$

নির্ণেয় কণিকটির সমীকরণ, $y^2+28x-6y-131=0$.

ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

দেওয়া আছে, উৎকেন্দ্রিকতা, e = $\frac{3}{4}$

উপকেন্দ্র ও তার নিকটতম নিয়ামকের দূরত্ব = 14

$\therefore \frac{a}{e}-\mathrm{ae}=14$

বা, $a(\frac{1}{e}-e)=14$

বা, $a(\frac{4}{3}-\frac{3}{4})=14$

বা, $a\left(\frac{16-9}{12}\right)=14$

বা, $a\cdot \frac{7}{12}=14$

বা, $a\frac{1}{12}=2$

বা, $a=24$

বা, $a^2=576$

আবার, $e=\frac{3}{4}$

বা, $e^2=\frac{9}{16}$

বা, $\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{9}{16}$

বা, $9a^2=16a^2-16b^2$

বা, $16b^2=7a^2$

বা, $16b^2=7.\left(24{)}^2\right[\because a=24]$

বা, $16b^2=7\times 576$

বা, $b^2=\frac{7\times 576}{16}=252$

$\therefore$ উপকেন্দ্রিক লম্নের দৈর্ঘ্য $=\frac{2b^2}{a}=\frac{2\times 252}{24}=21$ একক নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য 21 একক।