সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১g(x)=emsin−12xদৃশ্যকল্প-২ f(x)=x3−2×2+x−10f(x)=cos−1⁡2x…’ বরিশাল বোর্ড ২০১৯ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=e^{m{\sin }^{-1}}2x$

বা, $g^{\prime }=e^{m{\sin }^{-1}2x}\times \frac{d}{dx}({\sin }^{-1}2x)\times \frac{d}{dx}\left(2x\right)$

বা, $g^{\prime }=e^{m{\sin }^{-1}2x}\times \frac{m}{\sqrt{1-4x^2}}\times 2$

বা, $g^{\prime }\left(x\right)\sqrt{1-4x^2}=2\mathrm{mg}\left(x\right)$

বা, ${\left\{g^{\prime }\right(x\left)\right\}}^2(1-4x^2)=2mg\left(x\right)$

বা, $2g^{\prime }\left(x\right)g^{\prime \prime }\left(x\right)(1-4x^2)-{\left\{g^{\prime }\right(x\left)\right\}}^2(0-8x)=8m^{2}g\left(x\right)\cdot g^{\prime }\left(x\right)$

$\therefore (1-4x^2)g^{\prime \prime }\left(x\right)-4x{g}^{\prime }\left(x\right)=4m^{2}g\left(x\right)$ (প্রমানিত)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3-2x^2+x-10$.

$\therefore f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-4x+1$

$\therefore f^{\prime \prime }\left(x\right)=6x-4$

ফাংশনের লঘুমান ও গুরুমানের জন্য, $f^{\prime }\left(x\right)=0$

বা, $3x^2-4x+1=0$

বা, $3x^2-3x-x+1=0$

বা, $3x(x-1)-1(x-1)=0$

বা, $(3x-1)(x-1)=0$

$\therefore x=\frac{1}{3},1$

$x=\frac{1}{3}$এর জন্য

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=2-4=-2<0$

$\therefore x=\frac{1}{3}$ এর জন্য ফাংশনটির গুরুমান পা য়া যাবে

$\therefore x=1$ এর জন্য ফাংশনটির লঘুমান পাওয়া যাবে।

সুতরাং ফাংশনটির লঘুমান $=1^3-2\cdot 1^2+1-10=-10$

এবং, ফাংশনটির গুরুমান $={\left(\frac{1}{3}\right)}^3-2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2+\left(\frac{1}{3}\right)-10$

$=\frac{1}{27}-\frac{2}{9}+\frac{1}{3}-10$

$=-\frac{266}{27}$

নির্ণেয় লঘুমান - 10 এবং গুরুমান $-\frac{266}{27}$.