সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-২ : দুইটি…’ ২০২৫ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2-2x-4y+1=0$. 

এবং স্পর্শকের সমীকরণ, $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

(1) নং হতে পাই, $x^2+y^2+2\cdot (-1)\cdot x+2\cdot (-2)\cdot y+1=0$ 

এখানে, $g=-1,f=-2$ এবং $c=1$

$\therefore$ বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g,-f)=(1,2)$

এবং ব্যাসার্ধ $=\sqrt{g^2+f^2-c}$

$=\sqrt{(-1{)}^2+(-2{)}^2-1}$

$=\sqrt{1+4-1}=\sqrt{4}=2$

$A(-5,4)$ ) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

$y-4=m(x+5)$

বা, $y-4=mx+5m$

বা, $mx-y+5m+4=0$

(3) নং রেখা (1) নং বৃত্তের স্পর্শক হলে, কেন্দ্র হতে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ

বা, $\left|\frac{m\cdot 1-2+5m+4}{\sqrt{m^2+1^2}}\right|=2$

বা, $\frac{(6m+2{)}^2}{m^2+1}=4$ [বর্গ করে]

বা, $36m^2+24m+4=4m^2+4$

বা, $32m^2+24m=0$

বা, $m(32m+24)=0$

হয়, $m=0$ [AT এর ঢাল]

অথবা, $32m+24=0$

বা, $32m=-24$

$\therefore m=\frac{-3}{4}[\because \mathrm{AR}$ স্পর্শকের ঢাল]

$m=0$ হলে, (3) নং হতে পাই,

$0.x-y+5.0+4=0$

বা, $y=4$

বা, $\frac{x}{\infty }+\frac{y}{4}=1$

ইহাই AT স্পর্শকের সমীকরণ

(2) নং এর সাথে তুলনা করে পাই, $a=\infty$ এবং $b=4$.

নির্ণেয় মান : $a=\infty$ এবং $b=4$.

দেওয়া আছে, বৃত্ত দুইটির সমীকরণ

$x^2+y^2+6x+2y+6=0$ ........ (1)

এবং $x^2+y^2+8x+y+10=0$ ...... (2)

বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ

$\left(1\right)-\left(2\right)=0$

বা, $(x^2+y^2+6x+2y+6)-(x^2+y^2+8x+y+10)=0$

বা, $(6-8)x+(2-1)y+(6-10)=0$

বা, $-2x+y-4=0$, যা বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ,

বা, $-2x+y=4$

বা, $\frac{x}{-2}+\frac{y}{4}=1$

জ্যাটি $x$ অক্ষকে $A(-2,0)$ বিন্দুতে এবং $y$ অক্ষকে $B(0,4)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

ধরি, $P,Q$ বিন্দুদ্বয় AB এর সমত্রিখন্ডন বিন্দু। 

তাহলে, P বিন্দু AB কে $1:2$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। 

$\therefore P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(\frac{1.0+2.(-2)}{1+2},\frac{1.4+2.0}{1+2})=(-\frac{4}{3},\frac{4}{3})$

আবার, $Q$ বিন্দু $AB$ কে $2:1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

$\therefore Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(\frac{2.0+1.(-2)}{2+1},\frac{2.4+1.0}{2+1})=(\frac{-2}{3},\frac{8}{3})$

OP রেখার ঢাল, $m_1=\frac{\frac{4}{3}-0}{-\frac{4}{3}-0}=\frac{4}{3}\times (-\frac{3}{4})=-1$

$\therefore$ OP রেখার সমীকরণ, $y=m_1\cdot x$

বা, $y=-1.x\therefore x+y=0$

$OQ$ রেখার ঢাল, $m_2=\frac{\frac{8}{3}-0}{-\frac{2}{3}-0}=\frac{8}{3}\times (-\frac{3}{2})=-4$

$\therefore OQ$ রেখার সমীকরণ, $y=m_{2}x$

বা, $y=-4x\therefore 4x+y=0$

নির্ণেয় সমীকরণ, $x+y=0$ এবং $4x+y=0$