সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প: 9×2−16y2−36x−32y−124=0 একটি…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $9x^2-16y^2-36x-32y-124=0$
বা, $(3x{)}^2-2\cdot 3x\cdot 6+6^2-\left\{\right(4y{)}^2+2\cdot 4y\cdot 4+4^2\}-6^2+4^2-124=0$
বা, $(3x-6{)}^2-(4y+4{)}^2=144$
বা, $9(x-2{)}^2-16(y+1{)}^2=144$
বা, $\frac{(x-2{)}^2}{16}-\frac{(y+1{)}^2}{9}=1$
বা, $\frac{(x-2{)}^2}{4^2}-\frac{(y+1{)}^2}{3^2}=1$.
বা, $\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1$; যা অধিবৃত্তের প্রমিত আকার।
যেখানে, $X=x-2,Y=y+1,a=4$ এবং $b=3$
$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\frac{5}{4}$
অধিবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ( $\pm$ ae, 0) 

অর্থাৎ, X= $\pm$ ae
বা, $x-2=\pm 4\cdot \frac{5}{4}$
বা, $x=\pm 5+2$
$\therefore x=7,-3$ 

এবং Y = 0
বা, $y+1=0$ 

$\therefore y=-1$ 

নির্ণেয় উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(7,-1),(-3,-1)$. 

খ' নং হতে প্রাপ্ত, উদ্দীপকের অধিবৃত্তের সমীকরণ, 

$\frac{(x-2{)}^2}{4^2}-\frac{(y+1{)}^2}{3^2}=1$ 

$\therefore$ কেন্দ্র $(\alpha ,\beta )=(2,-1)$ 

$\therefore$ অসীমতটের সমীকরণ, $y+1=\pm \frac{3}{4}(x-2)$ 

বা, $4y+4=\pm (3x-6)$ 

' + ' চিহ্ন নিয়ে, $4y+4=3x-6$ 

বা, $3x-4y-10=0$ ............ (i) 

'-' চিহ্ন নিয়ে, $4y+4=-3x+6$ 

বা, $3x+4y-2=0$ ............ (ii) 

প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ, 

$3y^2-10x-12y-18=0$ 

বা, $3(y^2-4y)=10x+18$
বা, $3(y^2-2\cdot y\cdot 2+2^2-2^2)=10x+18$
বা, $3(y-2{)}^2-12=10x+18$
বা, $3(y-2{)}^2=10x+30$
বা, $(y-2{)}^2=\frac{10}{3}(x+3)$
বা, $(y-2{)}^2=4\cdot \frac{5}{6}(x+3)$
বা, $Y^2=4\mathrm{aX}$
যেখানে, $X=x+3,Y=y-2$ এবং $a=\frac{5}{6}$
পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $(X,Y)$ = $(0,0)$ 

অর্থাৎ, X = 0
বা, $x+3=0$
$\therefore x=-3$
$\therefore$ শীর্ষবিন্দু $(-3,2)$ 

এবং $Y=0$
বা, $y-2=0$ 

$\therefore y=2$ 

$\therefore$ শীর্ষবিন্দু $(-3,2)$
$\therefore$ শীর্ষ থেকে $\left(i\right)$ নং অসীমতটের লম্ব দূরত্ব 

$=\left|\frac{3\times (-3)-4\times 2-10}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}\right|$ 

$=\left|\frac{9-8-10}{\sqrt{25}}\right|=\left|\frac{-27}{5}\right|=\frac{27}{5}$ একক 

এবং শীর্ষ থেকে $\left(ii\right)$ নং অসীমতটের লম্ব দূরত্ব 

$=\left|\frac{3\times (-3)+4\times 2-2}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|$ 

$=\left|\frac{-9+8-2}{\sqrt{25}}\right|=\left|\frac{-3}{5}\right|=\frac{3}{5}$ একক