সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প : A…’ ঢাকা বোর্ড ২০২১ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A={\left[a_i\right]}_{3\times 3}$ যেখোনে, $a_{ij}=2i-j$.

বা, $A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$

$a_{11}=2.1-1=1,a_{12}=2.1-2=0,a_{13}=2.1-3=-1$

$a_{21}=2.2-1=3,a_{22}=2.2-2=2,a_{23}=2.2-3=1$

$a_{31}=2.3-1=5,a_{32}=2.3-2=4,a_{33}=2.3-3=3$

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 3& 2& 1\\ 5& 4& 3\end{array}\right]$

$A^2=A\cdot A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 3& 2& 1\\ 5& 4& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 3& 2& 1\\ 5& 4& 3\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}1.1+0.3+(-1).5& 1.0+0.2+(-1).4& 1(-1)+0.1+(-1)\cdot 3\\ 3.1+2.3+1.5& 3.0+2.2+1.4& 3(-1)+2.1+1.3\\ 3.1+1.3+3.5& 5.0+4.2+3.4& 5(-1)+4.1+3.3\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}1+0-5& 0+0-4& -1+0-3\\ 3+6+5& 0+4+4& -3+2+3\\ 5+12+15& 0+8+12& -5+4+9\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}-4& -4& -4\\ 14& 8& 2\\ 32& 20& 8\end{array}\right]$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^2+3x\therefore f\left(A\right)=A^2+3A$

প্রদত্ত রাশি $=f\left(A\right)+2I_3=A^2+3A+2I_3$

প্রদত্তরাশি$\begin{array}{cc}\text{ প্রদত্ত রাশি }& =f\left(A\right)+2I_3=A^2+3A+2I_3\\ & =\left[\begin{array}{ccc}-4& -4& -4\\ 14& 8& 2\\ 32& 20& 8\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 3& 2& 1\\ 5& 4& 3\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}-1& -4& -7\\ 23& 14& 5\\ 47& 32& 17\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -4& -7\\ 23& 16& 5\\ 47& 32& 19\end{array}\right]\end{array}$

$\therefore f\left(A\right)+2I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& -4& -7\\ 23& 16& 5\\ 47& 32& 19\end{array}\right]$

'খ’ হতে প্রাপ্ত, $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 3& 2& 1\\ 5& 4& 3\end{array}\right]$

এখন, $(A+I_3)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 3& 2& 1\\ 5& 4& 3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 3& 3& 1\\ 5& 4& 4\end{array}\right]$

এবং $A^T={\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 3& 2& 1\\ 5& 4& 3\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 0& 2& 4\\ -1& 1& 3\end{array}\right]$

$\therefore A^T-I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 0& 2& 4\\ -1& 1& 3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 3& 5\\ 0& 1& 4\\ -1& 1& 2\end{array}\right]$

প্রদত্ত রাশি $=(A+I_3)\cdot (A^T-I_3)$

$=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 3& 3& 1\\ 5& 4& 4\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0& 3& 5\\ 0& 1& 4\\ -1& 1& 2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}0+0+1& 6+0-1& 10+0-2\\ 0+0-1& 9+3+1& 15+12+2\\ 0+0-4& 15+4+4& 25+16+8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 8\\ -1& 13& 29\\ -4& 23& 49\end{array}\right]$