সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প :A কেন্দ্রবিশিষ্ট…’ ২০২৬ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r=5$ মি.

$AC$ বাহুর দৈর্ঘ্য $b=(r+4)$ মি. $=(5+4)$ মি. $=9$ মি.

$AB$ বাহুর দৈর্ঘ্য $c=(r+10)$ মি. $=(5+10)$ মি. $=15$ মি.

চিত্র হতে পাই, $BC$ বাহুর দৈর্ঘ্য $a=21$ মি.

$\therefore △\mathrm{ABC}$ এর অধর্ধরিসীমা, $s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{9+15+21}{2}$ মি.

$=\frac{45}{2}=22.5$ মি.

$\therefore △\mathrm{ABC}$ এর ক্ষেত্রফল $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$=\sqrt{22.5(22.5-21)(22.5-9)(22.5-15)}$ বর্গ মি.

$=\sqrt{22.5\times 1.5\times 13.5\times 7.5}$ বর্গ মি.

$=58.46$ বর্গ মি. (প্রায়)

আমরা জানি, $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\mathrm{bc}}$

বা, $A={\cos }^{-1}\left(\frac{9^2+{15}^2-{21}^2}{2\times 9\times 15}\right)={120}^{\circ }$ প্রায়

বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল

$=\frac{\theta }{360}\pi r^2[\theta =\angle A={120}^{\circ }]$

$=\frac{120}{360}\times \pi \times (5{)}^2$

$=\frac{1\times 3.1416\times 25}{3}$ বর্গ মি.

$=26.18$ বর্গ মি.

$\therefore$ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল $=△\mathrm{ABC}$ এর ক্ষেত্রফল $-$ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল

$=(58.46-26.18)$ বর্গ মি.

$=32.28$ বর্গ মি.

নির্ণেয় ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল $32.28$ বর্গ মি.।

বামপক্ষ $={\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B-{\cos }^{2}C$

$\begin{array}{cc}& =\frac{1}{2}[2{\cos }^{2}A+2{\cos }^{2}B]-{\cos }^{2}C\\ & =\frac{1}{2}[1+\cos 2A+1+\cos 2B]-{\cos }^{2}C\\ & =\frac{1}{2}[2+\cos 2A+\cos 2B]-{\cos }^{2}C\\ & =\frac{1}{2}[2+2\cos (A+B)\cos (A-B\left)\right]-{\cos }^{2}C\\ & =1+\cos (A+B)\cos (A-B)-{\cos }^{2}C\\ & =1+\cos (\pi -C)\cos (A-B)-{\cos }^{2}C\\ & [\because A+B+C=\pi ]\end{array}$

$\begin{array}{cc}& =1-\cos C\cos (A-B)-{\cos }^{2}C\\ & =1-\cos C[\cos (A-B)+\cos C]\\ & =1-\cos C[\cos (A-B)+\cos \{\pi -(A+B)\left\}\right]\\ & =1-\cos C[\cos (A-B)-\cos (A+B\left)\right]\\ & =1-\cos C(2\sin A\cdot \sin B]\end{array}$

$=1-2\sin A\cdot \sin B\cdot \cos C$. (প্রমাণিত)