সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প: A=[xyz2x3+12y3+12z3+1x2y2z2]B=[20−1131121]…’ যশোর বোর্ড ২০২১ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$A=\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\\ 2x^3+1& 2y^3+1& 2z^3+1\\ x^2& y^2& z^2\end{array}\right]$

বামপক্ষ, L.H.S $=det\left(A\right)=\left|\begin{array}{ccc}x& y& z\\ 2x^3+1& 2y^3+1& 2z^3+1\\ x^2& y^2& z^2\end{array}\right|$

নির্ণায়কের ধর্ম অনুসারে ২য় সারিকে ভেঙে দুটি নির্ণায়কের যোগফলরূপে প্রকাশ করে পাই:

প্রথম নির্ণায়কের ১ম, ২য় ও ৩য় কলাম হতে যথাক্রমে $2x,2y,2z$ কমন নিয়ে পাই:

এখন উভয় নির্ণায়কের সারিগুলো এমনভাবে পরিবর্তন করব যেন তা একই আকৃতি ধারণ করে। (বি.দ্র. পাশাপাশি দুটি সারি পরিবর্তন করলে নির্ণায়কের মান $(-)$ দ্বারা গুণ হয়)।

১ম নির্ণায়কে $r_2$ ও $r_3$ বিনিময় করে এবং ২য় নির্ণায়কে $r_1$ ও $r_2$ বিনিময় করে পাই:

এখন, $c_1^{\prime }=c_1-c_2$ এবং $c_2^{\prime }=c_2-c_3$ প্রয়োগ করে পাই:

১ম সারির সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই:

১ম কলাম হতে $(x-y)$ এবং ২য় কলাম হতে $(y-z)$ কমন নিয়ে পাই:

নির্ণায়কের মান বের করে পাই:

$=-(2xyz+1)(x-y)(y-z)\left\{1\right(y+z)-1(x+y\left)\right\}$

$=-(2xyz+1)(x-y)(y-z)(y+z-x-y)$

$=-(2xyz+1)(x-y)(y-z)(z-x)$

$=\text{R.H.S}$ (Proved)

দেওয়া আছে, $B=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 1& 3& 1\\ 1& 2& 1\end{array}\right]$

এমন একটি ম্যাট্রিক্স $C$ নির্ণয় করতে হবে যেন $BC=CB=I_3$ হয়।

সংজ্ঞানুসারে, কোনো ম্যাট্রিক্সকে তার বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ করলে অভেদ ম্যাট্রিক্স ($I$) পাওয়া যায়।

অতএব, $C=B^{-1}$

প্রথমে $B$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান বের করি:

$\left|B\right|=2(3-2)-0+(-1)(2-3)$

$=2\left(1\right)-0-1(-1)$

$=2+1=3$

যেহেতু $\left|B\right|\ne 0$, তাই বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়যোগ্য।

এখন $B$ ম্যাট্রিক্সের সহগুণকগুলো (Cofactors) নির্ণয় করি:

$B_{11}=(3\times 1)-(1\times 2)=3-2=1$

$B_{12}=-\left\{\right(1\times 1)-(1\times 1\left)\right\}=-(1-1)=0$

$B_{13}=(1\times 2)-(3\times 1)=2-3=-1$

$B_{21}=-\left\{\right(0\times 1)-(-1\times 2\left)\right\}=-(0+2)=-2$

$B_{22}=(2\times 1)-(-1\times 1)=2+1=3$

$B_{23}=-\left\{\right(2\times 2)-(0\times 1\left)\right\}=-(4-0)=-4$

$B_{31}=(0\times 1)-(-1\times 3)=0+3=3$

$B_{32}=-\left\{\right(2\times 1)-(-1\times 1\left)\right\}=-(2+1)=-3$

$B_{33}=(2\times 3)-(0\times 1)=6-0=6$

সহগুণকগুলো দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্স:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -2& 3& -4\\ 3& -3& 6\end{array}\right]$

অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স, $\text{Adj}\left(B\right)$ হবে সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ:

$\text{Adj}\left(B\right)=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 3& -3\\ -1& -4& 6\end{array}\right]$

আমরা জানি, বিপরীত ম্যাট্রিক্স, $B^{-1}=\frac{1}{\left|B\right|}\text{Adj}\left(B\right)$

$\therefore C=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 3& -3\\ -1& -4& 6\end{array}\right]$

নির্ণেয় ম্যাট্রিক্স, $C=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 3& -3\\ -1& -4& 6\end{array}\right]$