সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প: ABCD একটি…’ নটরডেম কলেজ ২০২৫ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপকের $AC$ কর্ণের A ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $(1,-1)$ এবং (3, 4). তাহলে AC কর্ণের সমীকরণ,

$\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{x-x_1}{x_1-x_2}$

বা, $\frac{y+1}{-1-4}=\frac{x-1}{1-3}$

বা, $\frac{y+1}{-5}=\frac{x-1}{-2}$

বা, $5x-5=2y+2$

$\therefore x-2y-7=0\dots .....\left(1\right)$

ধরি, AC কর্ণের বর্ধিতাংশের উপর E বিন্দুতে লম্ব রেখাটি AC কে $2:1$ অনুপাতে বহির্রিভক্ত করে।

তাহলে $E$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\equiv (\frac{2\times 3-1\times 1}{2-1},\frac{2\times 4-1\times (-1)}{2-1})\equiv (5,9)$

AC এর উপর লম্বরেখার সমীকরণ, $2x+5y+k=0$ ...... (2)

(2) নং রেখাটি $E(5,9)$ বিন্দুগামী,

$\therefore 2\times 5+5\times 9+k=0$

বা, $10+45+k=0$

বা, $55+k=0\therefore k=-55$

k -এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই, $2x+5y-55=0$

নির্ণেয় লম্বরেখার সমীকরণ, $2x+5y-55=0$.

'খ' হতে প্রাপ্ত, AC কর্ণের সমীকরণ, $5x-2y-7=0$ ..... (i)

$\therefore \mathrm{AC}$ কর্ণের ঢাল এরসহগএরসহগ$=-\frac{x\text{ এর সহগ }}{y\text{ এর সহগ }}=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}$

A $(1,-1)$ বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ, $y+1=m(x-1)$........ (ii)

AC কর্ণ AB ও $\mathrm{AD}-$এর সাথে ${45}^{\circ }$ কোণ উৎপম্ন করে।

$\therefore \tan {45}^{\circ }=\pm \frac{m-\frac{5}{2}}{1+m\times \frac{5}{2}}$

বা, $1=\pm \frac{2m-5}{2+5m}$

$(+)$ চিহ্ন নিয়ে, $1=\frac{2m-5}{2+5m}$

বা, $2+5m=2m-5$

বা, $3m=-7$

$\therefore m=-\frac{7}{3}$ [AD রেখার ঢাল]

$(-)$ চিহ্ন নিয়ে, $1=-\frac{2m-5}{2+5m}$

বা, $2+5m=-2m+5$

বা, $7m=3$

$\therefore m=\frac{3}{7}$ [AB রেখার ঢাল]

$\therefore$ (ii) নং হতে, AB রেখার সমীকরণ,

$y+1=\frac{3}{7}(x-1)$

বা, $7y+7=3x-3$

বা, $3x-7y-10=0$ ........ (iii)

এবং AD রেখার সমীকরণ,

$y+1=-\frac{7}{3}(x-1)$

বা, $3y+3=-7x+7$

বা, $7x+3y-4=0$ ....... (iv)

এখন, AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{1+3}{2},\frac{-1+4}{2})$

$=(2,\frac{3}{2})$

BD, AC-এর উপর নম্ব।

$\therefore \mathrm{BD}$ কর্ণের সমীকরণ, $2x+5y+k=0$ ....... (v)

(v) নং $(2,\frac{3}{2})$ বিন্দুগামী,

$\therefore 2\times 2+5\times \frac{3}{2}+x=0$

বা, $4+\frac{15}{2}+k=0$

বা, $x=-\frac{8+15}{2}=-\frac{23}{2}$

$\therefore$ BD রেখার সমীকরণ,

$2x+5y-\frac{23}{2}=0$

বা, $4x+10y-23=0$ ....... (vi)

এখন, AD ও BD রেখার ছেদবিন্দুই D বিন্দু।

$\therefore$ (iv) ও (vi) হতে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই,

$AD\equiv 7x+3y-4=0$

$BD\equiv 4x+10y-23=0$

$\therefore \frac{x}{3\times (-23)-10\times (-4)}=\frac{y}{4\times (-4)-7\times (-23)}=\frac{1}{(7\times 10)-(4\times 3)}$

বা, $\frac{x}{-69+40}=\frac{y}{-16+161}=\frac{1}{70-12}$

বা, $\frac{x}{-29}=\frac{y}{145}=\frac{1}{58}$

বা, $\frac{x}{-1}=\frac{y}{5}=\frac{1}{2}$

$\therefore x=-\frac{1}{2}$ এবং $y=\frac{5}{2}$

$\therefore$ D বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$

আবার, AB ও BD রেখার ছেদ বিন্দুই B বিন্দু।

$\therefore$ (iii) ও (vi) নং রেখাতে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই,

$\mathrm{AB}\equiv 3x-7y-10=0$

$\mathrm{BD}\equiv 4x+10y-23=0$

$\therefore \frac{x}{(-7)\times (-23)-10\times (-10)}=\frac{y}{4\times (-10)-3\times (-23)}=\frac{1}{3\times 10-4\times (-7)}$

বা, $\frac{x}{161+100}=\frac{y}{-40+69}=\frac{1}{30+28}$

বা, $\frac{x}{261}=\frac{y}{29}=\frac{1}{58}$

বা, $\frac{x}{9}=\frac{y}{1}=\frac{1}{2}\therefore x=\frac{9}{2}$ এবং $y=\frac{1}{2}$

$\therefore B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{9}{2},\frac{1}{2})$

অতএব, উদ্দীপকের বর্গের B ও D বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $(\frac{9}{2},\frac{1}{2})$ ও $(-\frac{1}{2},\frac{5}{2}).$