সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প:AB‖CD,OM=25…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৫ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $A(2,-2)$ ও $B(-1,4)$ বিন্দুগামী $AB$ রেখার ঢাল

$=\frac{4+2}{-1-2}=\frac{6}{-3}=-2$

AB রেখার সমীকরণ, $y-4=-2(x+1)$

বা, $y-4=-2x-2$

বা, $2x+y=2$

বা, $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}=1$

রেখাটি x অক্ষকে $R(1,0)$

রেখাটি x অক্ষকে R(1, 0)

এবং y অক্ষকে S(0, 2) বিন্দুতে ছেদ করে।

ধরি, RS এর সমত্রিখন্ডনকারী বিন্দুদ্বয় P ও Q.

এখন, P বিন্দু RS কে 1:2 অনুপাতে অন্তঃবিভক্ত করে,

$\therefore P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{1\cdot 0+2\cdot 1}{1+2},\frac{1\cdot 2+2\cdot 0}{1+2})=(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$

$\therefore P=(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$

আবার, Q বিন্দু PS এর মধ্যবিন্দু

$\therefore Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক

$=(\frac{\frac{2}{3}+0}{2},\frac{\frac{2}{3}+2}{2})=(\frac{1}{3},\frac{4}{3})$

$\therefore Q(\frac{1}{3},\frac{4}{3})$

OP রেখার সমীকরণ, $y-0=\left(\frac{\frac{2}{3}-0}{\frac{2}{3}-0}\right)(x-0)$

বা, $y=1\cdot x$

$\therefore y=x$

OQ রেখার সমীকরণ : $y-0=\frac{\frac{4}{3}-0}{\frac{1}{3}-0}(x-0)$

নির্ণেয় OP ও OQ রেখার সমীকরণ $y=x$ এবং $y=4x$.

‘খ’ হতে প্রাপ্ত AB রেখার সমীকরণ : $2x+y=2$ ......... (i)

$\because \mathrm{AB}\Vert \mathrm{CD}$

সুতরাং CD রেখার সমীকরণ, $2x+y+k=0$ ...... (ii)

এখন, মূলবিন্দু $O(0,0)$ হতে (ii) নং রেখার দূরত $=\frac{|0+0+k|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\left|k\right|}{\sqrt{5}}$

প্রশ্নমতে, $\frac{\left|k\right|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$

বা, $|k|=10$

$\therefore k=\pm 10$

চিত্রে, CD রেখা ১ম চতুর্ভাগে থাকায় $k=-10$

(ii) নং হতে পাই, $2x+y-10=0$

বা, $2x+y=10$

বা, $\frac{x}{5}+\frac{y}{10}=1$

$\therefore CD$ রেখা $x$-অক্ষকে $C(5,0)$ এবং $y$-অক্ষকে $D(0,10)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

আবার, ‘খ’ হতে প্রাপ্ত, $R(1,0)$ এবং $S(0,2)$

বিন্দুগুলি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে অবস্থিত।

$\therefore$ RCDS চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}1& 5& 0& 0& 1\\ 0& 0& 10& 2& 0\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(0+50+0+0-0-0-0-2)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times 48$ বর্গ একক $=24$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 24 বর্গ একক।